Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73985 / 90467
↖ ↑ ↗
← S 56.321106°
E 23.205871°		 ← 169.37 m → S 56.321106°
E 23.208618°		 →
↑
169.34 m
↓
↑
169.34 m
↓
S 56.322629°
E 23.205871°		 ← 169.36 m →
28 681 m²		 S 56.322629°
E 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90467 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564464569091797 y=0.690212249755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564464569091797 × 217)
    floor (0.564464569091797 × 131072)
    floor (73985.5)     		tx = 73985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690212249755859 × 217)
    floor (0.690212249755859 × 131072)
    floor (90467.5)     		ty = 90467
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73985 / 90467 ti = "17/73985/90467"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73985/90467.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73985 ÷ 217
    73985 ÷ 131072     		x = 0.564460754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90467 ÷ 217
    90467 ÷ 131072     		y = 0.690208435058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564460754394531 × 2 - 1) × π
    0.128921508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40501886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690208435058594 × 2 - 1) × π
    -0.380416870117188 × 3.1415926535     		Φ = -1.19511484442762
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40501886} λ = 0.40501886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19511484442762))-π/2
    2×atan(0.302669192315928)-π/2
    2×0.293903792217435-π/2
    0.58780758443487-1.57079632675     		φ = -0.98298874
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40501886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.205871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98298874 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.321106°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73985 KachelY 90467 0.40501886 -0.98298874 23.205871 -56.321106
    Oben rechts KachelX + 1 73986 KachelY 90467 0.40506680 -0.98298874 23.208618 -56.321106
    Unten links KachelX 73985 KachelY + 1 90468 0.40501886 -0.98301532 23.205871 -56.322629
    Unten rechts KachelX + 1 73986 KachelY + 1 90468 0.40506680 -0.98301532 23.208618 -56.322629
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98298874--0.98301532) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dl = 169.341179999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98298874--0.98301532) × R
    2.65799999999983e-05 × 6371000     		dr = 169.341179999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(-0.98298874) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554537921931747 × 6371000     		do = 169.370155164151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(-0.98301532) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554515802964144 × 6371000     		du = 169.363399462103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98298874)-sin(-0.98301532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554537921931747-0.554515802964144)×R²
    abs(0.40506680-0.40501886)×2.21189676034017e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21189676034017e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21189676034017e-05×40589641000000     		ar = 28680.769924728m²