Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73985 / 90459
↖ ↑ ↗
← S 56.308920°
E 23.205871°		 ← 169.42 m → S 56.308920°
E 23.208618°		 →
↑
169.40 m
↓
↑
169.40 m
↓
S 56.310443°
E 23.205871°		 ← 169.42 m →
28 701 m²		 S 56.310443°
E 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564464569091797 y=0.690151214599609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564464569091797 × 217)
    floor (0.564464569091797 × 131072)
    floor (73985.5)     		tx = 73985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.690151214599609 × 217)
    floor (0.690151214599609 × 131072)
    floor (90459.5)     		ty = 90459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73985 / 90459 ti = "17/73985/90459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73985/90459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73985 ÷ 217
    73985 ÷ 131072     		x = 0.564460754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90459 ÷ 217
    90459 ÷ 131072     		y = 0.690147399902344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564460754394531 × 2 - 1) × π
    0.128921508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40501886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.690147399902344 × 2 - 1) × π
    -0.380294799804688 × 3.1415926535     		Φ = -1.19473134923066
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40501886} λ = 0.40501886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.19473134923066))-π/2
    2×atan(0.302785286756857)-π/2
    2×0.294010140499549-π/2
    0.588020280999098-1.57079632675     		φ = -0.98277605
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40501886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.205871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98277605 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.308920°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73985 KachelY 90459 0.40501886 -0.98277605 23.205871 -56.308920
    Oben rechts KachelX + 1 73986 KachelY 90459 0.40506680 -0.98277605 23.208618 -56.308920
    Unten links KachelX 73985 KachelY + 1 90460 0.40501886 -0.98280264 23.205871 -56.310443
    Unten rechts KachelX + 1 73986 KachelY + 1 90460 0.40506680 -0.98280264 23.208618 -56.310443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98277605--0.98280264) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dl = 169.404889999602m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98277605--0.98280264) × R
    2.65899999999375e-05 × 6371000     		dr = 169.404889999602m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(-0.98277605) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554714901169242 × 6371000     		do = 169.424209178728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(-0.98280264) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.554692777016493 × 6371000     		du = 169.417451893003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98277605)-sin(-0.98280264))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.554714901169242-0.554692777016493)×R²
    abs(0.40506680-0.40501886)×2.21241527486038e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21241527486038e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21241527486038e-05×40589641000000     		ar = 28700.7171622253m²