Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73985 / 54529
↖ ↑ ↗
← N 28.919227°
E 23.205871°		 ← 267.34 m → N 28.919227°
E 23.208618°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
N 28.916823°
E 23.205871°		 ← 267.35 m →
71 468 m²		 N 28.916823°
E 23.208618°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73985 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54529 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564464569091797 y=0.416027069091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564464569091797 × 217)
    floor (0.564464569091797 × 131072)
    floor (73985.5)     		tx = 73985
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416027069091797 × 217)
    floor (0.416027069091797 × 131072)
    floor (54529.5)     		ty = 54529
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73985 / 54529 ti = "17/73985/54529"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73985/54529.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73985 ÷ 217
    73985 ÷ 131072     		x = 0.564460754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54529 ÷ 217
    54529 ÷ 131072     		y = 0.416023254394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564460754394531 × 2 - 1) × π
    0.128921508789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40501886
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416023254394531 × 2 - 1) × π
    0.167953491210938 × 3.1415926535     		Φ = 0.527641454117958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40501886} λ = 0.40501886}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527641454117958))-π/2
    2×atan(1.69493002046362)-π/2
    2×1.03776602945783-π/2
    2.07553205891565-1.57079632675     		φ = 0.50473573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40501886} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.205871°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50473573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.919227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73985 KachelY 54529 0.40501886 0.50473573 23.205871 28.919227
    Oben rechts KachelX + 1 73986 KachelY 54529 0.40506680 0.50473573 23.208618 28.919227
    Unten links KachelX 73985 KachelY + 1 54530 0.40501886 0.50469377 23.205871 28.916823
    Unten rechts KachelX + 1 73986 KachelY + 1 54530 0.40506680 0.50469377 23.208618 28.916823
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50473573-0.50469377) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50473573-0.50469377) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(0.50473573) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875302299656473 × 6371000     		do = 267.339852596414m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40501886-0.40506680) × cos(0.50469377) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8753225897408 × 6371000     		du = 267.346049710434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50473573)-sin(0.50469377))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875302299656473-0.8753225897408)×R²
    abs(0.40506680-0.40501886)×2.02900843268017e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02900843268017e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02900843268017e-05×40589641000000     		ar = 71468.0318883779m²