Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73984 / 54541
↖ ↑ ↗
← N 28.890374°
E 23.203125°		 ← 267.36 m → N 28.890374°
E 23.205871°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.887969°
E 23.203125°		 ← 267.36 m →
71 490 m²		 N 28.887969°
E 23.205871°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73984 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564456939697266 y=0.416118621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564456939697266 × 217)
    floor (0.564456939697266 × 131072)
    floor (73984.5)     		tx = 73984
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416118621826172 × 217)
    floor (0.416118621826172 × 131072)
    floor (54541.5)     		ty = 54541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73984 / 54541 ti = "17/73984/54541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73984/54541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73984 ÷ 217
    73984 ÷ 131072     		x = 0.564453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54541 ÷ 217
    54541 ÷ 131072     		y = 0.416114807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564453125 × 2 - 1) × π
    0.12890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40497093
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416114807128906 × 2 - 1) × π
    0.167770385742188 × 3.1415926535     		Φ = 0.527066211322517
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40497093} λ = 0.40497093}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527066211322517))-π/2
    2×atan(1.6939553045566)-π/2
    2×1.03751423877876-π/2
    2.07502847755751-1.57079632675     		φ = 0.50423215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40497093} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.203125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50423215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.890374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73984 KachelY 54541 0.40497093 0.50423215 23.203125 28.890374
    Oben rechts KachelX + 1 73985 KachelY 54541 0.40501886 0.50423215 23.205871 28.890374
    Unten links KachelX 73984 KachelY + 1 54542 0.40497093 0.50419018 23.203125 28.887969
    Unten rechts KachelX + 1 73985 KachelY + 1 54542 0.40501886 0.50419018 23.205871 28.887969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50423215-0.50419018) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dl = 267.390869999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50423215-0.50419018) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dr = 267.390869999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40497093-0.40501886) × cos(0.50423215) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.875545707934118 × 6371000     		do = 267.358414732403m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40497093-0.40501886) × cos(0.50419018) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.875565984351316 × 6371000     		du = 267.36460638032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50423215)-sin(0.50419018))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875545707934118-0.875565984351316)×R²
    abs(0.40501886-0.40497093)×2.02764171985947e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.02764171985947e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.02764171985947e-05×40589641000000     		ar = 71490.0269226104m²