Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73983 / 54533
↖ ↑ ↗
← N 28.909611°
E 23.200378°		 ← 267.36 m → N 28.909611°
E 23.203125°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.907206°
E 23.200378°		 ← 267.37 m →
71 492 m²		 N 28.907206°
E 23.203125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73983 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54533 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564449310302734 y=0.416057586669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564449310302734 × 217)
    floor (0.564449310302734 × 131072)
    floor (73983.5)     		tx = 73983
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416057586669922 × 217)
    floor (0.416057586669922 × 131072)
    floor (54533.5)     		ty = 54533
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73983 / 54533 ti = "17/73983/54533"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73983/54533.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73983 ÷ 217
    73983 ÷ 131072     		x = 0.564445495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54533 ÷ 217
    54533 ÷ 131072     		y = 0.416053771972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564445495605469 × 2 - 1) × π
    0.128890991210938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40492299
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416053771972656 × 2 - 1) × π
    0.167892456054688 × 3.1415926535     		Φ = 0.527449706519478
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40492299} λ = 0.40492299}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527449706519478))-π/2
    2×atan(1.69460505285948)-π/2
    2×1.03768210701059-π/2
    2.07536421402118-1.57079632675     		φ = 0.50456789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40492299} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.200378°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50456789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.909611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73983 KachelY 54533 0.40492299 0.50456789 23.200378 28.909611
    Oben rechts KachelX + 1 73984 KachelY 54533 0.40497093 0.50456789 23.203125 28.909611
    Unten links KachelX 73983 KachelY + 1 54534 0.40492299 0.50452592 23.200378 28.907206
    Unten rechts KachelX + 1 73984 KachelY + 1 54534 0.40497093 0.50452592 23.203125 28.907206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50456789-0.50452592) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dl = 267.390870000368m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50456789-0.50452592) × R
    4.19700000000578e-05 × 6371000     		dr = 267.390870000368m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40492299-0.40497093) × cos(0.50456789) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875383450746861 × 6371000     		do = 267.364638228248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40492299-0.40497093) × cos(0.50452592) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875403739500381 × 6371000     		du = 267.370834935805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50456789)-sin(0.50452592))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875383450746861-0.875403739500381)×R²
    abs(0.40497093-0.40492299)×2.02887535198926e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02887535198926e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02887535198926e-05×40589641000000     		ar = 71491.6917052543m²