Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73980 / 60531
↖ ↑ ↗
← N 13.616626°
E 23.192139°		 ← 296.84 m → N 13.616626°
E 23.194885°		 →
↑
296.82 m
↓
↑
296.82 m
↓
N 13.613956°
E 23.192139°		 ← 296.84 m →
88 110 m²		 N 13.613956°
E 23.194885°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73980 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60531 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564426422119141 y=0.461818695068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564426422119141 × 217)
    floor (0.564426422119141 × 131072)
    floor (73980.5)     		tx = 73980
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461818695068359 × 217)
    floor (0.461818695068359 × 131072)
    floor (60531.5)     		ty = 60531
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73980 / 60531 ti = "17/73980/60531"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73980/60531.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73980 ÷ 217
    73980 ÷ 131072     		x = 0.564422607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60531 ÷ 217
    60531 ÷ 131072     		y = 0.461814880371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564422607421875 × 2 - 1) × π
    0.12884521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40477918
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461814880371094 × 2 - 1) × π
    0.0763702392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.239924182598381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40477918} λ = 0.40477918}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239924182598381))-π/2
    2×atan(1.27115277116767)-π/2
    2×0.904225636728339-π/2
    1.80845127345668-1.57079632675     		φ = 0.23765495
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40477918} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.192139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23765495 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.616626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73980 KachelY 60531 0.40477918 0.23765495 23.192139 13.616626
    Oben rechts KachelX + 1 73981 KachelY 60531 0.40482712 0.23765495 23.194885 13.616626
    Unten links KachelX 73980 KachelY + 1 60532 0.40477918 0.23760836 23.192139 13.613956
    Unten rechts KachelX + 1 73981 KachelY + 1 60532 0.40482712 0.23760836 23.194885 13.613956
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23765495-0.23760836) × R
    4.6590000000013e-05 × 6371000     		dl = 296.824890000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23765495-0.23760836) × R
    4.6590000000013e-05 × 6371000     		dr = 296.824890000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40477918-0.40482712) × cos(0.23765495) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971892728066659 × 6371000     		do = 296.841055670183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40477918-0.40482712) × cos(0.23760836) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971903695422473 × 6371000     		du = 296.844405382949m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23765495)-sin(0.23760836))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971892728066659-0.971903695422473)×R²
    abs(0.40482712-0.40477918)×1.09673558139622e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09673558139622e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09673558139622e-05×40589641000000     		ar = 88110.3108518192m²