Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7398 / 4829
↖ ↑ ↗
← N 59.209688°
W 17.446289°		 ← 1 250.71 m → N 59.209688°
W 17.424316°		 →
↑
1 250.88 m
↓
↑
1 250.88 m
↓
N 59.198439°
W 17.446289°		 ← 1 251.12 m →
1 564 747 m²		 N 59.198439°
W 17.424316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451568603515625 y=0.294769287109375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451568603515625 × 214)
    floor (0.451568603515625 × 16384)
    floor (7398.5)     		tx = 7398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294769287109375 × 214)
    floor (0.294769287109375 × 16384)
    floor (4829.5)     		ty = 4829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7398 / 4829 ti = "14/7398/4829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7398/4829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7398 ÷ 214
    7398 ÷ 16384     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4829 ÷ 214
    4829 ÷ 16384     		y = 0.29473876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.29473876953125 × 2 - 1) × π
    0.4105224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.28969434737799
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28969434737799))-π/2
    2×atan(3.63167635469342)-π/2
    2×1.30210016728422-π/2
    2.60420033456843-1.57079632675     		φ = 1.03340401
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03340401 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.209688°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7398 KachelY 4829 -0.30449519 1.03340401 -17.446289 59.209688
    Oben rechts KachelX + 1 7399 KachelY 4829 -0.30411169 1.03340401 -17.424316 59.209688
    Unten links KachelX 7398 KachelY + 1 4830 -0.30449519 1.03320767 -17.446289 59.198439
    Unten rechts KachelX + 1 7399 KachelY + 1 4830 -0.30411169 1.03320767 -17.424316 59.198439
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03340401-1.03320767) × R
    0.000196340000000017 × 6371000     		dl = 1250.88214000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03340401-1.03320767) × R
    0.000196340000000017 × 6371000     		dr = 1250.88214000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30411169) × cos(1.03340401) × R
    0.000383500000000037 × 0.511897613600315 × 6371000     		do = 1250.70843351108m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30411169) × cos(1.03320767) × R
    0.000383500000000037 × 0.512066268915973 × 6371000     		du = 1251.12050541773m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03340401)-sin(1.03320767))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.511897613600315-0.512066268915973)×R²
    abs(-0.30411169--0.30449519)×0.000168655315658239×R²
    0.000383500000000037×0.000168655315658239×6371000²
    0.000383500000000037×0.000168655315658239×40589641000000     		ar = 1564746.57354861m²