Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7398 / 4422
↖ ↑ ↗
← N 63.489767°
W 17.446289°		 ← 1 090.58 m → N 63.489767°
W 17.424316°		 →
↑
1 090.72 m
↓
↑
1 090.72 m
↓
N 63.479958°
W 17.446289°		 ← 1 090.95 m →
1 189 712 m²		 N 63.479958°
W 17.424316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451568603515625 y=0.269927978515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451568603515625 × 214)
    floor (0.451568603515625 × 16384)
    floor (7398.5)     		tx = 7398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.269927978515625 × 214)
    floor (0.269927978515625 × 16384)
    floor (4422.5)     		ty = 4422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7398 / 4422 ti = "14/7398/4422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7398/4422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7398 ÷ 214
    7398 ÷ 16384     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4422 ÷ 214
    4422 ÷ 16384     		y = 0.2698974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2698974609375 × 2 - 1) × π
    0.460205078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.44577689254089
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.44577689254089))-π/2
    2×atan(4.24514888655176)-π/2
    2×1.33945089942626-π/2
    2.67890179885251-1.57079632675     		φ = 1.10810547
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10810547 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.489767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7398 KachelY 4422 -0.30449519 1.10810547 -17.446289 63.489767
    Oben rechts KachelX + 1 7399 KachelY 4422 -0.30411169 1.10810547 -17.424316 63.489767
    Unten links KachelX 7398 KachelY + 1 4423 -0.30449519 1.10793427 -17.446289 63.479958
    Unten rechts KachelX + 1 7399 KachelY + 1 4423 -0.30411169 1.10793427 -17.424316 63.479958
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10810547-1.10793427) × R
    0.000171199999999816 × 6371000     		dl = 1090.71519999883m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10810547-1.10793427) × R
    0.000171199999999816 × 6371000     		dr = 1090.71519999883m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30411169) × cos(1.10810547) × R
    0.000383500000000037 × 0.44635764575849 × 6371000     		do = 1090.57603919244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30411169) × cos(1.10793427) × R
    0.000383500000000037 × 0.446510838333287 × 6371000     		du = 1090.9503313168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10810547)-sin(1.10793427))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.44635764575849-0.446510838333287)×R²
    abs(-0.30411169--0.30449519)×0.000153192574797456×R²
    0.000383500000000037×0.000153192574797456×6371000²
    0.000383500000000037×0.000153192574797456×40589641000000     		ar = 1189711.98866165m²