Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7398 / 10678
↖ ↑ ↗
← S 47.842658°
W 17.446289°		 ← 1 639.85 m → S 47.842658°
W 17.424316°		 →
↑
1 639.58 m
↓
↑
1 639.58 m
↓
S 47.857403°
W 17.446289°		 ← 1 639.39 m →
2 688 282 m²		 S 47.857403°
W 17.424316°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7398 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10678 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451568603515625 y=0.651763916015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451568603515625 × 214)
    floor (0.451568603515625 × 16384)
    floor (7398.5)     		tx = 7398
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651763916015625 × 214)
    floor (0.651763916015625 × 16384)
    floor (10678.5)     		ty = 10678
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7398 / 10678 ti = "14/7398/10678"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7398/10678.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7398 ÷ 214
    7398 ÷ 16384     		x = 0.4515380859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10678 ÷ 214
    10678 ÷ 16384     		y = 0.6517333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4515380859375 × 2 - 1) × π
    -0.096923828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.30449519
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6517333984375 × 2 - 1) × π
    -0.303466796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.953369059643677
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30449519} λ = -0.30449519}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.953369059643677))-π/2
    2×atan(0.385440262281178)-π/2
    2×0.367892214148659-π/2
    0.735784428297319-1.57079632675     		φ = -0.83501190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30449519} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.446289°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83501190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.842658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7398 KachelY 10678 -0.30449519 -0.83501190 -17.446289 -47.842658
    Oben rechts KachelX + 1 7399 KachelY 10678 -0.30411169 -0.83501190 -17.424316 -47.842658
    Unten links KachelX 7398 KachelY + 1 10679 -0.30449519 -0.83526925 -17.446289 -47.857403
    Unten rechts KachelX + 1 7399 KachelY + 1 10679 -0.30411169 -0.83526925 -17.424316 -47.857403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83501190--0.83526925) × R
    0.000257349999999934 × 6371000     		dl = 1639.57684999958m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83501190--0.83526925) × R
    0.000257349999999934 × 6371000     		dr = 1639.57684999958m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30449519--0.30411169) × cos(-0.83501190) × R
    0.000383500000000037 × 0.67116886118383 × 6371000     		do = 1639.85244840009m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30449519--0.30411169) × cos(-0.83526925) × R
    0.000383500000000037 × 0.67097806424777 × 6371000     		du = 1639.38627834835m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83501190)-sin(-0.83526925))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67116886118383-0.67097806424777)×R²
    abs(-0.30411169--0.30449519)×0.000190796936060611×R²
    0.000383500000000037×0.000190796936060611×6371000²
    0.000383500000000037×0.000190796936060611×40589641000000     		ar = 2688281.9658367m²