Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73979 / 54537
↖ ↑ ↗
← N 28.899993°
E 23.189392°		 ← 267.39 m → N 28.899993°
E 23.192139°		 →
↑
267.39 m
↓
↑
267.39 m
↓
N 28.897588°
E 23.189392°		 ← 267.40 m →
71 498 m²		 N 28.897588°
E 23.192139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73979 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54537 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564418792724609 y=0.416088104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564418792724609 × 217)
    floor (0.564418792724609 × 131072)
    floor (73979.5)     		tx = 73979
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416088104248047 × 217)
    floor (0.416088104248047 × 131072)
    floor (54537.5)     		ty = 54537
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73979 / 54537 ti = "17/73979/54537"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73979/54537.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73979 ÷ 217
    73979 ÷ 131072     		x = 0.564414978027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54537 ÷ 217
    54537 ÷ 131072     		y = 0.416084289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564414978027344 × 2 - 1) × π
    0.128829956054688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40473124
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416084289550781 × 2 - 1) × π
    0.167831420898438 × 3.1415926535     		Φ = 0.527257958920998
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40473124} λ = 0.40473124}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527257958920998))-π/2
    2×atan(1.69428014756112)-π/2
    2×1.03759817678369-π/2
    2.07519635356737-1.57079632675     		φ = 0.50440003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40473124} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.189392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50440003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.899993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73979 KachelY 54537 0.40473124 0.50440003 23.189392 28.899993
    Oben rechts KachelX + 1 73980 KachelY 54537 0.40477918 0.50440003 23.192139 28.899993
    Unten links KachelX 73979 KachelY + 1 54538 0.40473124 0.50435806 23.189392 28.897588
    Unten rechts KachelX + 1 73980 KachelY + 1 54538 0.40477918 0.50435806 23.192139 28.897588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50440003-0.50435806) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dl = 267.390869999661m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50440003-0.50435806) × R
    4.19699999999468e-05 × 6371000     		dr = 267.390869999661m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40473124-0.40477918) × cos(0.50440003) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.87546458684311 × 6371000     		do = 267.389419280485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40473124-0.40477918) × cos(0.50435806) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875484869429123 × 6371000     		du = 267.395614104327m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50440003)-sin(0.50435806))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.87546458684311-0.875484869429123)×R²
    abs(0.40477918-0.40473124)×2.02825860123879e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02825860123879e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02825860123879e-05×40589641000000     		ar = 71498.3176802314m²