Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73976 / 56632
↖ ↑ ↗
← N 23.745126°
E 23.181152°		 ← 279.57 m → N 23.745126°
E 23.183899°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
N 23.742612°
E 23.181152°		 ← 279.58 m →
78 157 m²		 N 23.742612°
E 23.183899°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73976 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564395904541016 y=0.432071685791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564395904541016 × 217)
    floor (0.564395904541016 × 131072)
    floor (73976.5)     		tx = 73976
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432071685791016 × 217)
    floor (0.432071685791016 × 131072)
    floor (56632.5)     		ty = 56632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73976 / 56632 ti = "17/73976/56632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73976/56632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73976 ÷ 217
    73976 ÷ 131072     		x = 0.56439208984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56632 ÷ 217
    56632 ÷ 131072     		y = 0.43206787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56439208984375 × 2 - 1) × π
    0.1287841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40458743
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43206787109375 × 2 - 1) × π
    0.1358642578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.42683015421698
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40458743} λ = 0.40458743}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42683015421698))-π/2
    2×atan(1.53239236923801)-π/2
    2×0.992613477220881-π/2
    1.98522695444176-1.57079632675     		φ = 0.41443063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40458743} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.181152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41443063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.745126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73976 KachelY 56632 0.40458743 0.41443063 23.181152 23.745126
    Oben rechts KachelX + 1 73977 KachelY 56632 0.40463537 0.41443063 23.183899 23.745126
    Unten links KachelX 73976 KachelY + 1 56633 0.40458743 0.41438675 23.181152 23.742612
    Unten rechts KachelX + 1 73977 KachelY + 1 56633 0.40463537 0.41438675 23.183899 23.742612
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41443063-0.41438675) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41443063-0.41438675) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40458743-0.40463537) × cos(0.41443063) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915345736400686 × 6371000     		do = 279.570148895841m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40458743-0.40463537) × cos(0.41438675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915363404627506 × 6371000     		du = 279.575545227092m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41443063)-sin(0.41438675))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915345736400686-0.915363404627506)×R²
    abs(0.40463537-0.40458743)×1.76682268193673e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76682268193673e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76682268193673e-05×40589641000000     		ar = 78157.2397591265m²