Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73972 / 56937
↖ ↑ ↗
← N 22.976095°
E 23.170166°		 ← 281.14 m → N 22.976095°
E 23.172912°		 →
↑
281.15 m
↓
↑
281.15 m
↓
N 22.973567°
E 23.170166°		 ← 281.14 m →
79 043 m²		 N 22.973567°
E 23.172912°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73972 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564365386962891 y=0.434398651123047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564365386962891 × 217)
    floor (0.564365386962891 × 131072)
    floor (73972.5)     		tx = 73972
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434398651123047 × 217)
    floor (0.434398651123047 × 131072)
    floor (56937.5)     		ty = 56937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73972 / 56937 ti = "17/73972/56937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73972/56937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73972 ÷ 217
    73972 ÷ 131072     		x = 0.564361572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56937 ÷ 217
    56937 ÷ 131072     		y = 0.434394836425781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564361572265625 × 2 - 1) × π
    0.12872314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40439569
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434394836425781 × 2 - 1) × π
    0.131210327148438 × 3.1415926535     		Φ = 0.412209399832863
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40439569} λ = 0.40439569}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412209399832863))-π/2
    2×atan(1.5101506285115)-π/2
    2×0.985902419549168-π/2
    1.97180483909834-1.57079632675     		φ = 0.40100851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40439569} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.170166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40100851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.976095°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73972 KachelY 56937 0.40439569 0.40100851 23.170166 22.976095
    Oben rechts KachelX + 1 73973 KachelY 56937 0.40444362 0.40100851 23.172912 22.976095
    Unten links KachelX 73972 KachelY + 1 56938 0.40439569 0.40096438 23.170166 22.973567
    Unten rechts KachelX + 1 73973 KachelY + 1 56938 0.40444362 0.40096438 23.172912 22.973567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40100851-0.40096438) × R
    4.41299999999756e-05 × 6371000     		dl = 281.152229999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40100851-0.40096438) × R
    4.41299999999756e-05 × 6371000     		dr = 281.152229999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40439569-0.40444362) × cos(0.40100851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.92066779337502 × 6371000     		do = 281.136986340789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40439569-0.40444362) × cos(0.40096438) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.920685018493556 × 6371000     		du = 281.142246237952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40100851)-sin(0.40096438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.92066779337502-0.920685018493556)×R²
    abs(0.40444362-0.40439569)×1.72251185364125e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72251185364125e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72251185364125e-05×40589641000000     		ar = 79043.0300738499m²