Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73971 / 60527
↖ ↑ ↗
← N 13.627303°
E 23.167420°		 ← 296.83 m → N 13.627303°
E 23.170166°		 →
↑
296.82 m
↓
↑
296.82 m
↓
N 13.624633°
E 23.167420°		 ← 296.83 m →
88 106 m²		 N 13.624633°
E 23.170166°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73971 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60527 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564357757568359 y=0.461788177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564357757568359 × 217)
    floor (0.564357757568359 × 131072)
    floor (73971.5)     		tx = 73971
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461788177490234 × 217)
    floor (0.461788177490234 × 131072)
    floor (60527.5)     		ty = 60527
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73971 / 60527 ti = "17/73971/60527"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73971/60527.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73971 ÷ 217
    73971 ÷ 131072     		x = 0.564353942871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60527 ÷ 217
    60527 ÷ 131072     		y = 0.461784362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564353942871094 × 2 - 1) × π
    0.128707885742188 × 3.1415926535     		Λ = 0.40434775
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461784362792969 × 2 - 1) × π
    0.0764312744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240115930196861
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40434775} λ = 0.40434775}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240115930196861))-π/2
    2×atan(1.27139653502867)-π/2
    2×0.904318813673055-π/2
    1.80863762734611-1.57079632675     		φ = 0.23784130
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40434775} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.167420°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23784130 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.627303°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73971 KachelY 60527 0.40434775 0.23784130 23.167420 13.627303
    Oben rechts KachelX + 1 73972 KachelY 60527 0.40439569 0.23784130 23.170166 13.627303
    Unten links KachelX 73971 KachelY + 1 60528 0.40434775 0.23779471 23.167420 13.624633
    Unten rechts KachelX + 1 73972 KachelY + 1 60528 0.40439569 0.23779471 23.170166 13.624633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23784130-0.23779471) × R
    4.6590000000013e-05 × 6371000     		dl = 296.824890000083m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23784130-0.23779471) × R
    4.6590000000013e-05 × 6371000     		dr = 296.824890000083m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40434775-0.40439569) × cos(0.23784130) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971848839903517 × 6371000     		do = 296.827651095478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40434775-0.40439569) × cos(0.23779471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971859815697206 × 6371000     		du = 296.831003385388m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23784130)-sin(0.23779471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971848839903517-0.971859815697206)×R²
    abs(0.40439569-0.40434775)×1.09757936890276e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.09757936890276e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.09757936890276e-05×40589641000000     		ar = 88106.332422866m²