Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73970 / 56935
↖ ↑ ↗
← N 22.981153°
E 23.164673°		 ← 281.19 m → N 22.981153°
E 23.167420°		 →
↑
281.15 m
↓
↑
281.15 m
↓
N 22.978624°
E 23.164673°		 ← 281.19 m →
79 057 m²		 N 22.978624°
E 23.167420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73970 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56935 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564350128173828 y=0.434383392333984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564350128173828 × 217)
    floor (0.564350128173828 × 131072)
    floor (73970.5)     		tx = 73970
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434383392333984 × 217)
    floor (0.434383392333984 × 131072)
    floor (56935.5)     		ty = 56935
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73970 / 56935 ti = "17/73970/56935"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73970/56935.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73970 ÷ 217
    73970 ÷ 131072     		x = 0.564346313476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56935 ÷ 217
    56935 ÷ 131072     		y = 0.434379577636719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564346313476562 × 2 - 1) × π
    0.128692626953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.40429981
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434379577636719 × 2 - 1) × π
    0.131240844726562 × 3.1415926535     		Φ = 0.412305273632103
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40429981} λ = 0.40429981}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.412305273632103))-π/2
    2×atan(1.51029541933039)-π/2
    2×0.985946552682836-π/2
    1.97189310536567-1.57079632675     		φ = 0.40109678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40429981} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.164673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40109678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 22.981153°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73970 KachelY 56935 0.40429981 0.40109678 23.164673 22.981153
    Oben rechts KachelX + 1 73971 KachelY 56935 0.40434775 0.40109678 23.167420 22.981153
    Unten links KachelX 73970 KachelY + 1 56936 0.40429981 0.40105265 23.164673 22.978624
    Unten rechts KachelX + 1 73971 KachelY + 1 56936 0.40434775 0.40105265 23.167420 22.978624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40109678-0.40105265) × R
    4.41299999999756e-05 × 6371000     		dl = 281.152229999844m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40109678-0.40105265) × R
    4.41299999999756e-05 × 6371000     		dr = 281.152229999844m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40429981-0.40434775) × cos(0.40109678) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920633333854815 × 6371000     		do = 281.185117261415m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40429981-0.40434775) × cos(0.40105265) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920650562559646 × 6371000     		du = 281.190379351337m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40109678)-sin(0.40105265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920633333854815-0.920650562559646)×R²
    abs(0.40434775-0.40429981)×1.72287048308961e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72287048308961e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72287048308961e-05×40589641000000     		ar = 79056.5624978292m²