Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7397 / 4854
↖ ↑ ↗
← N 58.927335°
W 17.468262°		 ← 1 261 m → N 58.927335°
W 17.446289°		 →
↑
1 261.27 m
↓
↑
1 261.27 m
↓
N 58.915992°
W 17.468262°		 ← 1 261.42 m →
1 590 723 m²		 N 58.915992°
W 17.446289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4854 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451507568359375 y=0.296295166015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451507568359375 × 214)
    floor (0.451507568359375 × 16384)
    floor (7397.5)     		tx = 7397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.296295166015625 × 214)
    floor (0.296295166015625 × 16384)
    floor (4854.5)     		ty = 4854
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7397 / 4854 ti = "14/7397/4854"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7397/4854.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7397 ÷ 214
    7397 ÷ 16384     		x = 0.45147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4854 ÷ 214
    4854 ÷ 16384     		y = 0.2962646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30487868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2962646484375 × 2 - 1) × π
    0.407470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.28010696745398
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30487868} λ = -0.30487868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28010696745398))-π/2
    2×atan(3.59702446954078)-π/2
    2×1.29963616589935-π/2
    2.5992723317987-1.57079632675     		φ = 1.02847601
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30487868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.468262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.02847601 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.927335°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7397 KachelY 4854 -0.30487868 1.02847601 -17.468262 58.927335
    Oben rechts KachelX + 1 7398 KachelY 4854 -0.30449519 1.02847601 -17.446289 58.927335
    Unten links KachelX 7397 KachelY + 1 4855 -0.30487868 1.02827804 -17.468262 58.915992
    Unten rechts KachelX + 1 7398 KachelY + 1 4855 -0.30449519 1.02827804 -17.446289 58.915992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.02847601-1.02827804) × R
    0.000197970000000103 × 6371000     		dl = 1261.26687000065m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.02847601-1.02827804) × R
    0.000197970000000103 × 6371000     		dr = 1261.26687000065m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30487868--0.30449519) × cos(1.02847601) × R
    0.000383489999999986 × 0.516124761705763 × 6371000     		do = 1261.0036512847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30487868--0.30449519) × cos(1.02827804) × R
    0.000383489999999986 × 0.516294315551444 × 6371000     		du = 1261.41790774817m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.02847601)-sin(1.02827804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.516124761705763-0.516294315551444)×R²
    abs(-0.30449519--0.30487868)×0.000169553845680293×R²
    0.000383489999999986×0.000169553845680293×6371000²
    0.000383489999999986×0.000169553845680293×40589641000000     		ar = 1590723.37748791m²