Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7397 / 10729
↖ ↑ ↗
← S 48.589326°
W 17.468262°		 ← 1 616.07 m → S 48.589326°
W 17.446289°		 →
↑
1 615.81 m
↓
↑
1 615.81 m
↓
S 48.603857°
W 17.468262°		 ← 1 615.60 m →
2 610 889 m²		 S 48.603857°
W 17.446289°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7397 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451507568359375 y=0.654876708984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451507568359375 × 214)
    floor (0.451507568359375 × 16384)
    floor (7397.5)     		tx = 7397
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.654876708984375 × 214)
    floor (0.654876708984375 × 16384)
    floor (10729.5)     		ty = 10729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7397 / 10729 ti = "14/7397/10729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7397/10729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7397 ÷ 214
    7397 ÷ 16384     		x = 0.45147705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10729 ÷ 214
    10729 ÷ 16384     		y = 0.65484619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45147705078125 × 2 - 1) × π
    -0.0970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.30487868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65484619140625 × 2 - 1) × π
    -0.3096923828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.97292731468866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30487868} λ = -0.30487868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.97292731468866))-π/2
    2×atan(0.377974965387777)-π/2
    2×0.361376304706081-π/2
    0.722752609412162-1.57079632675     		φ = -0.84804372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30487868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.468262°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84804372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.589326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7397 KachelY 10729 -0.30487868 -0.84804372 -17.468262 -48.589326
    Oben rechts KachelX + 1 7398 KachelY 10729 -0.30449519 -0.84804372 -17.446289 -48.589326
    Unten links KachelX 7397 KachelY + 1 10730 -0.30487868 -0.84829734 -17.468262 -48.603857
    Unten rechts KachelX + 1 7398 KachelY + 1 10730 -0.30449519 -0.84829734 -17.446289 -48.603857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84804372--0.84829734) × R
    0.000253620000000065 × 6371000     		dl = 1615.81302000042m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84804372--0.84829734) × R
    0.000253620000000065 × 6371000     		dr = 1615.81302000042m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30487868--0.30449519) × cos(-0.84804372) × R
    0.000383489999999986 × 0.661451596890788 × 6371000     		do = 1616.06832439263m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30487868--0.30449519) × cos(-0.84829734) × R
    0.000383489999999986 × 0.661261363699339 × 6371000     		du = 1615.60354384574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84804372)-sin(-0.84829734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661451596890788-0.661261363699339)×R²
    abs(-0.30449519--0.30487868)×0.00019023319144873×R²
    0.000383489999999986×0.00019023319144873×6371000²
    0.000383489999999986×0.00019023319144873×40589641000000     		ar = 2610888.75452807m²