Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73969 / 61743
↖ ↑ ↗
← N 10.360853°
E 23.161926°		 ← 300.45 m → N 10.360853°
E 23.164673°		 →
↑
300.39 m
↓
↑
300.39 m
↓
N 10.358152°
E 23.161926°		 ← 300.45 m →
90 252 m²		 N 10.358152°
E 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564342498779297 y=0.471065521240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564342498779297 × 217)
    floor (0.564342498779297 × 131072)
    floor (73969.5)     		tx = 73969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.471065521240234 × 217)
    floor (0.471065521240234 × 131072)
    floor (61743.5)     		ty = 61743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73969 / 61743 ti = "17/73969/61743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73969/61743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73969 ÷ 217
    73969 ÷ 131072     		x = 0.564338684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61743 ÷ 217
    61743 ÷ 131072     		y = 0.471061706542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564338684082031 × 2 - 1) × π
    0.128677368164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40425187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.471061706542969 × 2 - 1) × π
    0.0578765869140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.181824660258873
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40425187} λ = 0.40425187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.181824660258873))-π/2
    2×atan(1.19940387227707)-π/2
    2×0.875813664313935-π/2
    1.75162732862787-1.57079632675     		φ = 0.18083100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40425187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.161926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.18083100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 10.360853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73969 KachelY 61743 0.40425187 0.18083100 23.161926 10.360853
    Oben rechts KachelX + 1 73970 KachelY 61743 0.40429981 0.18083100 23.164673 10.360853
    Unten links KachelX 73969 KachelY + 1 61744 0.40425187 0.18078385 23.161926 10.358152
    Unten rechts KachelX + 1 73970 KachelY + 1 61744 0.40429981 0.18078385 23.164673 10.358152
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.18083100-0.18078385) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dl = 300.392649999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.18083100-0.18078385) × R
    4.71499999999958e-05 × 6371000     		dr = 300.392649999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40425187-0.40429981) × cos(0.18083100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.983694579527705 × 6371000     		do = 300.445644886041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40425187-0.40429981) × cos(0.18078385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.983703058224352 × 6371000     		du = 300.448234498239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.18083100)-sin(0.18078385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.983694579527705-0.983703058224352)×R²
    abs(0.40429981-0.40425187)×8.47869664732936e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.47869664732936e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.47869664732936e-06×40589641000000     		ar = 90252.0524152183m²