Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73969 / 60593
↖ ↑ ↗
← N 13.451066°
E 23.161926°		 ← 297.05 m → N 13.451066°
E 23.164673°		 →
↑
297.02 m
↓
↑
297.02 m
↓
N 13.448395°
E 23.161926°		 ← 297.05 m →
88 228 m²		 N 13.448395°
E 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564342498779297 y=0.462291717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564342498779297 × 217)
    floor (0.564342498779297 × 131072)
    floor (73969.5)     		tx = 73969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462291717529297 × 217)
    floor (0.462291717529297 × 131072)
    floor (60593.5)     		ty = 60593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73969 / 60593 ti = "17/73969/60593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73969/60593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73969 ÷ 217
    73969 ÷ 131072     		x = 0.564338684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60593 ÷ 217
    60593 ÷ 131072     		y = 0.462287902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564338684082031 × 2 - 1) × π
    0.128677368164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40425187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462287902832031 × 2 - 1) × π
    0.0754241943359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.236952094821938
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40425187} λ = 0.40425187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236952094821938))-π/2
    2×atan(1.26738040223716)-π/2
    2×0.902780858090384-π/2
    1.80556171618077-1.57079632675     		φ = 0.23476539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40425187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.161926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23476539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.451066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73969 KachelY 60593 0.40425187 0.23476539 23.161926 13.451066
    Oben rechts KachelX + 1 73970 KachelY 60593 0.40429981 0.23476539 23.164673 13.451066
    Unten links KachelX 73969 KachelY + 1 60594 0.40425187 0.23471877 23.161926 13.448395
    Unten rechts KachelX + 1 73970 KachelY + 1 60594 0.40429981 0.23471877 23.164673 13.448395
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23476539-0.23471877) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dl = 297.016019999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23476539-0.23471877) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dr = 297.016019999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40425187-0.40429981) × cos(0.23476539) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972568941860478 × 6371000     		do = 297.047588768559m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40425187-0.40429981) × cos(0.23471877) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972579785306364 × 6371000     		du = 297.050900636043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23476539)-sin(0.23471877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972568941860478-0.972579785306364)×R²
    abs(0.40429981-0.40425187)×1.08434458861995e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08434458861995e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08434458861995e-05×40589641000000     		ar = 88228.3844214893m²