Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73969 / 60591
↖ ↑ ↗
← N 13.456408°
E 23.161926°		 ← 297.04 m → N 13.456408°
E 23.164673°		 →
↑
297.02 m
↓
↑
297.02 m
↓
N 13.453737°
E 23.161926°		 ← 297.04 m →
88 226 m²		 N 13.453737°
E 23.164673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73969 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564342498779297 y=0.462276458740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564342498779297 × 217)
    floor (0.564342498779297 × 131072)
    floor (73969.5)     		tx = 73969
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462276458740234 × 217)
    floor (0.462276458740234 × 131072)
    floor (60591.5)     		ty = 60591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73969 / 60591 ti = "17/73969/60591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73969/60591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73969 ÷ 217
    73969 ÷ 131072     		x = 0.564338684082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60591 ÷ 217
    60591 ÷ 131072     		y = 0.462272644042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564338684082031 × 2 - 1) × π
    0.128677368164062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40425187
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462272644042969 × 2 - 1) × π
    0.0754547119140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.237047968621178
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40425187} λ = 0.40425187}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237047968621178))-π/2
    2×atan(1.26750191663633)-π/2
    2×0.902827479510193-π/2
    1.80565495902039-1.57079632675     		φ = 0.23485863
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40425187} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.161926°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23485863 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.456408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73969 KachelY 60591 0.40425187 0.23485863 23.161926 13.456408
    Oben rechts KachelX + 1 73970 KachelY 60591 0.40429981 0.23485863 23.164673 13.456408
    Unten links KachelX 73969 KachelY + 1 60592 0.40425187 0.23481201 23.161926 13.453737
    Unten rechts KachelX + 1 73970 KachelY + 1 60592 0.40429981 0.23481201 23.164673 13.453737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23485863-0.23481201) × R
    4.6620000000025e-05 × 6371000     		dl = 297.016020000159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23485863-0.23481201) × R
    4.6620000000025e-05 × 6371000     		dr = 297.016020000159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40425187-0.40429981) × cos(0.23485863) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972547248627314 × 6371000     		do = 297.040963096767m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40425187-0.40429981) × cos(0.23481201) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972558096300787 × 6371000     		du = 297.044276255464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23485863)-sin(0.23481201))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972547248627314-0.972558096300787)×R²
    abs(0.40429981-0.40425187)×1.08476734728136e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08476734728136e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08476734728136e-05×40589641000000     		ar = 88226.416682642m²