Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73968 / 61307
↖ ↑ ↗
← N 11.536543°
E 23.159180°		 ← 299.19 m → N 11.536543°
E 23.161926°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.533852°
E 23.159180°		 ← 299.20 m →
89 514 m²		 N 11.533852°
E 23.161926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61307 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564334869384766 y=0.467739105224609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564334869384766 × 217)
    floor (0.564334869384766 × 131072)
    floor (73968.5)     		tx = 73968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467739105224609 × 217)
    floor (0.467739105224609 × 131072)
    floor (61307.5)     		ty = 61307
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73968 / 61307 ti = "17/73968/61307"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73968/61307.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73968 ÷ 217
    73968 ÷ 131072     		x = 0.5643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61307 ÷ 217
    61307 ÷ 131072     		y = 0.467735290527344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5643310546875 × 2 - 1) × π
    0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467735290527344 × 2 - 1) × π
    0.0645294189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.202725148493217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40420394} λ = 0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.202725148493217))-π/2
    2×atan(1.22473580150248)-π/2
    2×0.886073495820851-π/2
    1.7721469916417-1.57079632675     		φ = 0.20135066
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20135066 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.536543°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73968 KachelY 61307 0.40420394 0.20135066 23.159180 11.536543
    Oben rechts KachelX + 1 73969 KachelY 61307 0.40425187 0.20135066 23.161926 11.536543
    Unten links KachelX 73968 KachelY + 1 61308 0.40420394 0.20130370 23.159180 11.533852
    Unten rechts KachelX + 1 73969 KachelY + 1 61308 0.40425187 0.20130370 23.161926 11.533852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20135066-0.20130370) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20135066-0.20130370) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40420394-0.40425187) × cos(0.20135066) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.97979734924551 × 6371000     		do = 299.192907554411m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40420394-0.40425187) × cos(0.20130370) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979806739831084 × 6371000     		du = 299.195775082685m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20135066)-sin(0.20130370))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97979734924551-0.979806739831084)×R²
    abs(0.40425187-0.40420394)×9.39058557358763e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.39058557358763e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.39058557358763e-06×40589641000000     		ar = 89513.6093118625m²