Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73968 / 56627
↖ ↑ ↗
← N 23.757696°
E 23.159180°		 ← 279.48 m → N 23.757696°
E 23.161926°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.755182°
E 23.159180°		 ← 279.49 m →
78 116 m²		 N 23.755182°
E 23.161926°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564334869384766 y=0.432033538818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564334869384766 × 217)
    floor (0.564334869384766 × 131072)
    floor (73968.5)     		tx = 73968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432033538818359 × 217)
    floor (0.432033538818359 × 131072)
    floor (56627.5)     		ty = 56627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73968 / 56627 ti = "17/73968/56627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73968/56627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73968 ÷ 217
    73968 ÷ 131072     		x = 0.5643310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56627 ÷ 217
    56627 ÷ 131072     		y = 0.432029724121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5643310546875 × 2 - 1) × π
    0.128662109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40420394
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432029724121094 × 2 - 1) × π
    0.135940551757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.42706983871508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40420394} λ = 0.40420394}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42706983871508))-π/2
    2×atan(1.53275970395438)-π/2
    2×0.99272316901837-π/2
    1.98544633803674-1.57079632675     		φ = 0.41465001
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40420394} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.159180°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41465001 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.757696°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73968 KachelY 56627 0.40420394 0.41465001 23.159180 23.757696
    Oben rechts KachelX + 1 73969 KachelY 56627 0.40425187 0.41465001 23.161926 23.757696
    Unten links KachelX 73968 KachelY + 1 56628 0.40420394 0.41460614 23.159180 23.755182
    Unten rechts KachelX + 1 73969 KachelY + 1 56628 0.40425187 0.41460614 23.161926 23.755182
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41465001-0.41460614) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41465001-0.41460614) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40420394-0.40425187) × cos(0.41465001) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.915257376887815 × 6371000     		do = 279.484850579109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40420394-0.40425187) × cos(0.41460614) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.915275049897479 × 6371000     		du = 279.490247245217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41465001)-sin(0.41460614))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915257376887815-0.915275049897479)×R²
    abs(0.40425187-0.40420394)×1.76730096637101e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76730096637101e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76730096637101e-05×40589641000000     		ar = 78115.5877010666m²