Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73967 / 60588
↖ ↑ ↗
← N 13.464422°
E 23.156433°		 ← 297.03 m → N 13.464422°
E 23.159180°		 →
↑
297.02 m
↓
↑
297.02 m
↓
N 13.461751°
E 23.156433°		 ← 297.03 m →
88 223 m²		 N 13.461751°
E 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60588 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564327239990234 y=0.462253570556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564327239990234 × 217)
    floor (0.564327239990234 × 131072)
    floor (73967.5)     		tx = 73967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462253570556641 × 217)
    floor (0.462253570556641 × 131072)
    floor (60588.5)     		ty = 60588
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73967 / 60588 ti = "17/73967/60588"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73967/60588.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73967 ÷ 217
    73967 ÷ 131072     		x = 0.564323425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60588 ÷ 217
    60588 ÷ 131072     		y = 0.462249755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564323425292969 × 2 - 1) × π
    0.128646850585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40415600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462249755859375 × 2 - 1) × π
    0.07550048828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.237191779320038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40415600} λ = 0.40415600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237191779320038))-π/2
    2×atan(1.26768421008033)-π/2
    2×0.902897409689546-π/2
    1.80579481937909-1.57079632675     		φ = 0.23499849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40415600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.156433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23499849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.464422°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73967 KachelY 60588 0.40415600 0.23499849 23.156433 13.464422
    Oben rechts KachelX + 1 73968 KachelY 60588 0.40420394 0.23499849 23.159180 13.464422
    Unten links KachelX 73967 KachelY + 1 60589 0.40415600 0.23495187 23.156433 13.461751
    Unten rechts KachelX + 1 73968 KachelY + 1 60589 0.40420394 0.23495187 23.159180 13.461751
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23499849-0.23495187) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dl = 297.016019999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23499849-0.23495187) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dr = 297.016019999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40415600-0.40420394) × cos(0.23499849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972514692924442 × 6371000     		do = 297.031019747126m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40415600-0.40420394) × cos(0.23495187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972525546939118 × 6371000     		du = 297.03433484259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23499849)-sin(0.23495187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972514692924442-0.972525546939118)×R²
    abs(0.40420394-0.40415600)×1.08540146758207e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08540146758207e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08540146758207e-05×40589641000000     		ar = 88223.4636360392m²