Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73967 / 60587
↖ ↑ ↗
← N 13.467093°
E 23.156433°		 ← 297.03 m → N 13.467093°
E 23.159180°		 →
↑
297.02 m
↓
↑
297.02 m
↓
N 13.464422°
E 23.156433°		 ← 297.03 m →
88 222 m²		 N 13.464422°
E 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564327239990234 y=0.462245941162109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564327239990234 × 217)
    floor (0.564327239990234 × 131072)
    floor (73967.5)     		tx = 73967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462245941162109 × 217)
    floor (0.462245941162109 × 131072)
    floor (60587.5)     		ty = 60587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73967 / 60587 ti = "17/73967/60587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73967/60587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73967 ÷ 217
    73967 ÷ 131072     		x = 0.564323425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60587 ÷ 217
    60587 ÷ 131072     		y = 0.462242126464844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564323425292969 × 2 - 1) × π
    0.128646850585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40415600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462242126464844 × 2 - 1) × π
    0.0755157470703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.237239716219658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40415600} λ = 0.40415600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237239716219658))-π/2
    2×atan(1.26774498038762)-π/2
    2×0.902920719229042-π/2
    1.80584143845808-1.57079632675     		φ = 0.23504511
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40415600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.156433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23504511 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.467093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73967 KachelY 60587 0.40415600 0.23504511 23.156433 13.467093
    Oben rechts KachelX + 1 73968 KachelY 60587 0.40420394 0.23504511 23.159180 13.467093
    Unten links KachelX 73967 KachelY + 1 60588 0.40415600 0.23499849 23.156433 13.464422
    Unten rechts KachelX + 1 73968 KachelY + 1 60588 0.40420394 0.23499849 23.159180 13.464422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23504511-0.23499849) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dl = 297.016019999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23504511-0.23499849) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dr = 297.016019999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40415600-0.40420394) × cos(0.23504511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97250383679608 × 6371000     		do = 297.027704006087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40415600-0.40420394) × cos(0.23499849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972514692924442 × 6371000     		du = 297.031019747126m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23504511)-sin(0.23499849))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97250383679608-0.972514692924442)×R²
    abs(0.40420394-0.40415600)×1.08561283628239e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08561283628239e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08561283628239e-05×40589641000000     		ar = 88222.478903692m²