Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73967 / 56622
↖ ↑ ↗
← N 23.770264°
E 23.156433°		 ← 279.52 m → N 23.770264°
E 23.159180°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.767750°
E 23.156433°		 ← 279.52 m →
78 124 m²		 N 23.767750°
E 23.159180°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73967 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564327239990234 y=0.431995391845703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564327239990234 × 217)
    floor (0.564327239990234 × 131072)
    floor (73967.5)     		tx = 73967
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431995391845703 × 217)
    floor (0.431995391845703 × 131072)
    floor (56622.5)     		ty = 56622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73967 / 56622 ti = "17/73967/56622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73967/56622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73967 ÷ 217
    73967 ÷ 131072     		x = 0.564323425292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56622 ÷ 217
    56622 ÷ 131072     		y = 0.431991577148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564323425292969 × 2 - 1) × π
    0.128646850585938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40415600
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431991577148438 × 2 - 1) × π
    0.136016845703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.427309523213181
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40415600} λ = 0.40415600}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427309523213181))-π/2
    2×atan(1.53312712672574)-π/2
    2×0.992832850224354-π/2
    1.98566570044871-1.57079632675     		φ = 0.41486937
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40415600} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.156433°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41486937 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.770264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73967 KachelY 56622 0.40415600 0.41486937 23.156433 23.770264
    Oben rechts KachelX + 1 73968 KachelY 56622 0.40420394 0.41486937 23.159180 23.770264
    Unten links KachelX 73967 KachelY + 1 56623 0.40415600 0.41482550 23.156433 23.767750
    Unten rechts KachelX + 1 73968 KachelY + 1 56623 0.40420394 0.41482550 23.159180 23.767750
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41486937-0.41482550) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41486937-0.41482550) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40415600-0.40420394) × cos(0.41486937) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915168981387226 × 6371000     		do = 279.516163365056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40415600-0.40420394) × cos(0.41482550) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.915186663204367 × 6371000     		du = 279.521563847141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41486937)-sin(0.41482550))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915168981387226-0.915186663204367)×R²
    abs(0.40420394-0.40415600)×1.76818171409021e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.76818171409021e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.76818171409021e-05×40589641000000     		ar = 78124.3400256593m²