Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73966 / 56631
↖ ↑ ↗
← N 23.747640°
E 23.153686°		 ← 279.56 m → N 23.747640°
E 23.156433°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
N 23.745126°
E 23.153686°		 ← 279.57 m →
78 156 m²		 N 23.745126°
E 23.156433°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73966 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56631 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564319610595703 y=0.432064056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564319610595703 × 217)
    floor (0.564319610595703 × 131072)
    floor (73966.5)     		tx = 73966
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432064056396484 × 217)
    floor (0.432064056396484 × 131072)
    floor (56631.5)     		ty = 56631
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73966 / 56631 ti = "17/73966/56631"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73966/56631.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73966 ÷ 217
    73966 ÷ 131072     		x = 0.564315795898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56631 ÷ 217
    56631 ÷ 131072     		y = 0.432060241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564315795898438 × 2 - 1) × π
    0.128631591796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40410806
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432060241699219 × 2 - 1) × π
    0.135879516601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.4268780911166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40410806} λ = 0.40410806}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4268780911166))-π/2
    2×atan(1.5324658291379)-π/2
    2×0.992635416427495-π/2
    1.98527083285499-1.57079632675     		φ = 0.41447451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40410806} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.153686°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41447451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.747640°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73966 KachelY 56631 0.40410806 0.41447451 23.153686 23.747640
    Oben rechts KachelX + 1 73967 KachelY 56631 0.40415600 0.41447451 23.156433 23.747640
    Unten links KachelX 73966 KachelY + 1 56632 0.40410806 0.41443063 23.153686 23.745126
    Unten rechts KachelX + 1 73967 KachelY + 1 56632 0.40415600 0.41443063 23.156433 23.745126
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41447451-0.41443063) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41447451-0.41443063) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40410806-0.40415600) × cos(0.41447451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915328066411411 × 6371000     		do = 279.564752026615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40410806-0.40415600) × cos(0.41443063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915345736400686 × 6371000     		du = 279.570148896165m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41447451)-sin(0.41443063))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915328066411411-0.915345736400686)×R²
    abs(0.40415600-0.40410806)×1.76699892758814e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76699892758814e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76699892758814e-05×40589641000000     		ar = 78155.7310883892m²