Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73965 / 56595
↖ ↑ ↗
← N 23.838113°
E 23.150940°		 ← 279.31 m → N 23.838113°
E 23.153686°		 →
↑
279.30 m
↓
↑
279.30 m
↓
N 23.835601°
E 23.150940°		 ← 279.32 m →
78 014 m²		 N 23.835601°
E 23.153686°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73965 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564311981201172 y=0.431789398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564311981201172 × 217)
    floor (0.564311981201172 × 131072)
    floor (73965.5)     		tx = 73965
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431789398193359 × 217)
    floor (0.431789398193359 × 131072)
    floor (56595.5)     		ty = 56595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73965 / 56595 ti = "17/73965/56595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73965/56595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73965 ÷ 217
    73965 ÷ 131072     		x = 0.564308166503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56595 ÷ 217
    56595 ÷ 131072     		y = 0.431785583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564308166503906 × 2 - 1) × π
    0.128616333007812 × 3.1415926535     		Λ = 0.40406013
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431785583496094 × 2 - 1) × π
    0.136428833007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.428603819502922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40406013} λ = 0.40406013}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428603819502922))-π/2
    2×atan(1.53511273218126)-π/2
    2×0.993424945534239-π/2
    1.98684989106848-1.57079632675     		φ = 0.41605356
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40406013} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.150940°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41605356 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.838113°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73965 KachelY 56595 0.40406013 0.41605356 23.150940 23.838113
    Oben rechts KachelX + 1 73966 KachelY 56595 0.40410806 0.41605356 23.153686 23.838113
    Unten links KachelX 73965 KachelY + 1 56596 0.40406013 0.41600972 23.150940 23.835601
    Unten rechts KachelX + 1 73966 KachelY + 1 56596 0.40410806 0.41600972 23.153686 23.835601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41605356-0.41600972) × R
    4.38399999999617e-05 × 6371000     		dl = 279.304639999756m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41605356-0.41600972) × R
    4.38399999999617e-05 × 6371000     		dr = 279.304639999756m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40406013-0.40410806) × cos(0.41605356) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914691027905831 × 6371000     		do = 279.311909103959m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40406013-0.40410806) × cos(0.41600972) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.914708745131019 × 6371000     		du = 279.317319271808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41605356)-sin(0.41600972))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.914691027905831-0.914708745131019)×R²
    abs(0.40410806-0.40406013)×1.77172251883961e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.77172251883961e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.77172251883961e-05×40589641000000     		ar = 78013.8677749541m²