Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73964 / 56630
↖ ↑ ↗
← N 23.750154°
E 23.148193°		 ← 279.56 m → N 23.750154°
E 23.150940°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.747640°
E 23.148193°		 ← 279.56 m →
78 136 m²		 N 23.747640°
E 23.150940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564304351806641 y=0.432056427001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564304351806641 × 217)
    floor (0.564304351806641 × 131072)
    floor (73964.5)     		tx = 73964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432056427001953 × 217)
    floor (0.432056427001953 × 131072)
    floor (56630.5)     		ty = 56630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73964 / 56630 ti = "17/73964/56630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73964/56630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73964 ÷ 217
    73964 ÷ 131072     		x = 0.564300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56630 ÷ 217
    56630 ÷ 131072     		y = 0.432052612304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564300537109375 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432052612304688 × 2 - 1) × π
    0.135894775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.42692602801622
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40401219} λ = 0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42692602801622))-π/2
    2×atan(1.53253929255931)-π/2
    2×0.992657355210585-π/2
    1.98531471042117-1.57079632675     		φ = 0.41451838
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41451838 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.750154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73964 KachelY 56630 0.40401219 0.41451838 23.148193 23.750154
    Oben rechts KachelX + 1 73965 KachelY 56630 0.40406013 0.41451838 23.150940 23.750154
    Unten links KachelX 73964 KachelY + 1 56631 0.40401219 0.41447451 23.148193 23.747640
    Unten rechts KachelX + 1 73965 KachelY + 1 56631 0.40406013 0.41447451 23.150940 23.747640
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41451838-0.41447451) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41451838-0.41447451) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40401219-0.40406013) × cos(0.41451838) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915310398687204 × 6371000     		do = 279.559355848875m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40401219-0.40406013) × cos(0.41447451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915328066411411 × 6371000     		du = 279.564752026615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41451838)-sin(0.41447451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915310398687204-0.915328066411411)×R²
    abs(0.40406013-0.40401219)×1.76677242068601e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76677242068601e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76677242068601e-05×40589641000000     		ar = 78136.4115407286m²