Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73964 / 56628
↖ ↑ ↗
← N 23.755182°
E 23.148193°		 ← 279.55 m → N 23.755182°
E 23.150940°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
N 23.752668°
E 23.148193°		 ← 279.55 m →
78 151 m²		 N 23.752668°
E 23.150940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56628 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564304351806641 y=0.432041168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564304351806641 × 217)
    floor (0.564304351806641 × 131072)
    floor (73964.5)     		tx = 73964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.432041168212891 × 217)
    floor (0.432041168212891 × 131072)
    floor (56628.5)     		ty = 56628
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73964 / 56628 ti = "17/73964/56628"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73964/56628.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73964 ÷ 217
    73964 ÷ 131072     		x = 0.564300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56628 ÷ 217
    56628 ÷ 131072     		y = 0.432037353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564300537109375 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.432037353515625 × 2 - 1) × π
    0.13592529296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.42702190181546
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40401219} λ = 0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.42702190181546))-π/2
    2×atan(1.53268622996738)-π/2
    2×0.992701231506056-π/2
    1.98540246301211-1.57079632675     		φ = 0.41460614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41460614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.755182°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73964 KachelY 56628 0.40401219 0.41460614 23.148193 23.755182
    Oben rechts KachelX + 1 73965 KachelY 56628 0.40406013 0.41460614 23.150940 23.755182
    Unten links KachelX 73964 KachelY + 1 56629 0.40401219 0.41456226 23.148193 23.752668
    Unten rechts KachelX + 1 73965 KachelY + 1 56629 0.40406013 0.41456226 23.150940 23.752668
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41460614-0.41456226) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41460614-0.41456226) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40401219-0.40406013) × cos(0.41460614) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915275049897479 × 6371000     		do = 279.548559418615m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40401219-0.40406013) × cos(0.41456226) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915292725173518 × 6371000     		du = 279.553957902879m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41460614)-sin(0.41456226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915275049897479-0.915292725173518)×R²
    abs(0.40406013-0.40401219)×1.76752760394638e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76752760394638e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76752760394638e-05×40589641000000     		ar = 78151.2045171323m²