Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73964 / 54526
↖ ↑ ↗
← N 28.926439°
E 23.148193°		 ← 267.32 m → N 28.926439°
E 23.150940°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
N 28.924035°
E 23.148193°		 ← 267.33 m →
71 463 m²		 N 28.924035°
E 23.150940°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73964 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54526 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564304351806641 y=0.416004180908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564304351806641 × 217)
    floor (0.564304351806641 × 131072)
    floor (73964.5)     		tx = 73964
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416004180908203 × 217)
    floor (0.416004180908203 × 131072)
    floor (54526.5)     		ty = 54526
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73964 / 54526 ti = "17/73964/54526"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73964/54526.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73964 ÷ 217
    73964 ÷ 131072     		x = 0.564300537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54526 ÷ 217
    54526 ÷ 131072     		y = 0.416000366210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564300537109375 × 2 - 1) × π
    0.12860107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40401219
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.416000366210938 × 2 - 1) × π
    0.167999267578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.527785264816818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40401219} λ = 0.40401219}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527785264816818))-π/2
    2×atan(1.69517378706208)-π/2
    2×1.03782896618686-π/2
    2.07565793237371-1.57079632675     		φ = 0.50486161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40401219} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.148193°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50486161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.926439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73964 KachelY 54526 0.40401219 0.50486161 23.148193 28.926439
    Oben rechts KachelX + 1 73965 KachelY 54526 0.40406013 0.50486161 23.150940 28.926439
    Unten links KachelX 73964 KachelY + 1 54527 0.40401219 0.50481965 23.148193 28.924035
    Unten rechts KachelX + 1 73965 KachelY + 1 54527 0.40406013 0.50481965 23.150940 28.924035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50486161-0.50481965) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50486161-0.50481965) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40401219-0.40406013) × cos(0.50486161) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875241420157074 × 6371000     		do = 267.32125843026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40401219-0.40406013) × cos(0.50481965) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875261714864575 × 6371000     		du = 267.327456956316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50486161)-sin(0.50481965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875241420157074-0.875261714864575)×R²
    abs(0.40406013-0.40401219)×2.02947075004234e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.02947075004234e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.02947075004234e-05×40589641000000     		ar = 71463.0613513836m²