Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73963 / 61283
↖ ↑ ↗
← N 11.601122°
E 23.145447°		 ← 299.19 m → N 11.601122°
E 23.148193°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.598432°
E 23.145447°		 ← 299.19 m →
89 512 m²		 N 11.598432°
E 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61283 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564296722412109 y=0.467555999755859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564296722412109 × 217)
    floor (0.564296722412109 × 131072)
    floor (73963.5)     		tx = 73963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467555999755859 × 217)
    floor (0.467555999755859 × 131072)
    floor (61283.5)     		ty = 61283
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73963 / 61283 ti = "17/73963/61283"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73963/61283.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73963 ÷ 217
    73963 ÷ 131072     		x = 0.564292907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61283 ÷ 217
    61283 ÷ 131072     		y = 0.467552185058594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564292907714844 × 2 - 1) × π
    0.128585815429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40396425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467552185058594 × 2 - 1) × π
    0.0648956298828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.203875634084099
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40396425} λ = 0.40396425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203875634084099))-π/2
    2×atan(1.2261456532463)-π/2
    2×0.886637052230562-π/2
    1.77327410446112-1.57079632675     		φ = 0.20247778
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40396425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.145447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20247778 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.601122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73963 KachelY 61283 0.40396425 0.20247778 23.145447 11.601122
    Oben rechts KachelX + 1 73964 KachelY 61283 0.40401219 0.20247778 23.148193 11.601122
    Unten links KachelX 73963 KachelY + 1 61284 0.40396425 0.20243082 23.145447 11.598432
    Unten rechts KachelX + 1 73964 KachelY + 1 61284 0.40401219 0.20243082 23.148193 11.598432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20247778-0.20243082) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20247778-0.20243082) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40396425-0.40401219) × cos(0.20247778) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979571310944718 × 6371000     		do = 299.186292527864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40396425-0.40401219) × cos(0.20243082) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979580753384802 × 6371000     		du = 299.189176492114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20247778)-sin(0.20243082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979571310944718-0.979580753384802)×R²
    abs(0.40401219-0.40396425)×9.44244008405093e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.44244008405093e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.44244008405093e-06×40589641000000     		ar = 89511.6326726403m²