Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73963 / 60586
↖ ↑ ↗
← N 13.469764°
E 23.145447°		 ← 297.02 m → N 13.469764°
E 23.148193°		 →
↑
297.02 m
↓
↑
297.02 m
↓
N 13.467093°
E 23.145447°		 ← 297.03 m →
88 221 m²		 N 13.467093°
E 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564296722412109 y=0.462238311767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564296722412109 × 217)
    floor (0.564296722412109 × 131072)
    floor (73963.5)     		tx = 73963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462238311767578 × 217)
    floor (0.462238311767578 × 131072)
    floor (60586.5)     		ty = 60586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73963 / 60586 ti = "17/73963/60586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73963/60586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73963 ÷ 217
    73963 ÷ 131072     		x = 0.564292907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60586 ÷ 217
    60586 ÷ 131072     		y = 0.462234497070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564292907714844 × 2 - 1) × π
    0.128585815429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40396425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462234497070312 × 2 - 1) × π
    0.075531005859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.237287653119278
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40396425} λ = 0.40396425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.237287653119278))-π/2
    2×atan(1.26780575360812)-π/2
    2×0.902944028508316-π/2
    1.80588805701663-1.57079632675     		φ = 0.23509173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40396425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.145447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23509173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.469764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73963 KachelY 60586 0.40396425 0.23509173 23.145447 13.469764
    Oben rechts KachelX + 1 73964 KachelY 60586 0.40401219 0.23509173 23.148193 13.469764
    Unten links KachelX 73963 KachelY + 1 60587 0.40396425 0.23504511 23.145447 13.467093
    Unten rechts KachelX + 1 73964 KachelY + 1 60587 0.40401219 0.23504511 23.148193 13.467093
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23509173-0.23504511) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dl = 297.016019999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23509173-0.23504511) × R
    4.66199999999972e-05 × 6371000     		dr = 297.016019999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40396425-0.40401219) × cos(0.23509173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.972492978554053 × 6371000     		do = 297.024387619481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40396425-0.40401219) × cos(0.23504511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97250383679608 × 6371000     		du = 297.027704006087m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23509173)-sin(0.23504511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972492978554053-0.97250383679608)×R²
    abs(0.40401219-0.40396425)×1.08582420265124e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.08582420265124e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.08582420265124e-05×40589641000000     		ar = 88221.493979614m²