Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73963 / 54523
↖ ↑ ↗
← N 28.933651°
E 23.145447°		 ← 267.30 m → N 28.933651°
E 23.148193°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
N 28.931247°
E 23.145447°		 ← 267.31 m →
71 441 m²		 N 28.931247°
E 23.148193°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73963 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54523 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564296722412109 y=0.415981292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564296722412109 × 217)
    floor (0.564296722412109 × 131072)
    floor (73963.5)     		tx = 73963
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415981292724609 × 217)
    floor (0.415981292724609 × 131072)
    floor (54523.5)     		ty = 54523
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73963 / 54523 ti = "17/73963/54523"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73963/54523.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73963 ÷ 217
    73963 ÷ 131072     		x = 0.564292907714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54523 ÷ 217
    54523 ÷ 131072     		y = 0.415977478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564292907714844 × 2 - 1) × π
    0.128585815429688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40396425
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415977478027344 × 2 - 1) × π
    0.168045043945312 × 3.1415926535     		Φ = 0.527929075515678
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40396425} λ = 0.40396425}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527929075515678))-π/2
    2×atan(1.69541758871931)-π/2
    2×1.03789189853821-π/2
    2.07578379707641-1.57079632675     		φ = 0.50498747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40396425} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.145447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50498747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.933651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73963 KachelY 54523 0.40396425 0.50498747 23.145447 28.933651
    Oben rechts KachelX + 1 73964 KachelY 54523 0.40401219 0.50498747 23.148193 28.933651
    Unten links KachelX 73963 KachelY + 1 54524 0.40396425 0.50494552 23.145447 28.931247
    Unten rechts KachelX + 1 73964 KachelY + 1 54524 0.40401219 0.50494552 23.148193 28.931247
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50498747-0.50494552) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50498747-0.50494552) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40396425-0.40401219) × cos(0.50498747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875180536464727 × 6371000     		do = 267.302662983161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40396425-0.40401219) × cos(0.50494552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875200830956747 × 6371000     		du = 267.308861443404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50498747)-sin(0.50494552))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875180536464727-0.875200830956747)×R²
    abs(0.40401219-0.40396425)×2.02944920205672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02944920205672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02944920205672e-05×40589641000000     		ar = 71441.0602243773m²