Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73962 / 61286
↖ ↑ ↗
← N 11.593050°
E 23.142700°		 ← 299.13 m → N 11.593050°
E 23.145447°		 →
↑
299.18 m
↓
↑
299.18 m
↓
N 11.590360°
E 23.142700°		 ← 299.14 m →
89 496 m²		 N 11.590360°
E 23.145447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564289093017578 y=0.467578887939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564289093017578 × 217)
    floor (0.564289093017578 × 131072)
    floor (73962.5)     		tx = 73962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467578887939453 × 217)
    floor (0.467578887939453 × 131072)
    floor (61286.5)     		ty = 61286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73962 / 61286 ti = "17/73962/61286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73962/61286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73962 ÷ 217
    73962 ÷ 131072     		x = 0.564285278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61286 ÷ 217
    61286 ÷ 131072     		y = 0.467575073242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564285278320312 × 2 - 1) × π
    0.128570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40391632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467575073242188 × 2 - 1) × π
    0.064849853515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.203731823385239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40391632} λ = 0.40391632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203731823385239))-π/2
    2×atan(1.22596933306167)-π/2
    2×0.886566614794839-π/2
    1.77313322958968-1.57079632675     		φ = 0.20233690
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40391632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.142700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20233690 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.593050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73962 KachelY 61286 0.40391632 0.20233690 23.142700 11.593050
    Oben rechts KachelX + 1 73963 KachelY 61286 0.40396425 0.20233690 23.145447 11.593050
    Unten links KachelX 73962 KachelY + 1 61287 0.40391632 0.20228994 23.142700 11.590360
    Unten rechts KachelX + 1 73963 KachelY + 1 61287 0.40396425 0.20228994 23.145447 11.590360
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20233690-0.20228994) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dl = 299.182159999903m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20233690-0.20228994) × R
    4.69599999999848e-05 × 6371000     		dr = 299.182159999903m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40391632-0.40396425) × cos(0.20233690) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979599631784313 × 6371000     		do = 299.132532149093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40391632-0.40396425) × cos(0.20228994) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.979609067743698 × 6371000     		du = 299.135413532806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20233690)-sin(0.20228994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979599631784313-0.979609067743698)×R²
    abs(0.40396425-0.40391632)×9.43595938496244e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.43595938496244e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.43595938496244e-06×40589641000000     		ar = 89495.5481403848m²