Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73962 / 56618
↖ ↑ ↗
← N 23.780318°
E 23.142700°		 ← 279.44 m → N 23.780318°
E 23.145447°		 →
↑
279.50 m
↓
↑
279.50 m
↓
N 23.777805°
E 23.142700°		 ← 279.44 m →
78 102 m²		 N 23.777805°
E 23.145447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73962 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564289093017578 y=0.431964874267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564289093017578 × 217)
    floor (0.564289093017578 × 131072)
    floor (73962.5)     		tx = 73962
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431964874267578 × 217)
    floor (0.431964874267578 × 131072)
    floor (56618.5)     		ty = 56618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73962 / 56618 ti = "17/73962/56618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73962/56618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73962 ÷ 217
    73962 ÷ 131072     		x = 0.564285278320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56618 ÷ 217
    56618 ÷ 131072     		y = 0.431961059570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564285278320312 × 2 - 1) × π
    0.128570556640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.40391632
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431961059570312 × 2 - 1) × π
    0.136077880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.427501270811661
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40391632} λ = 0.40391632}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.427501270811661))-π/2
    2×atan(1.53342112835661)-π/2
    2×0.9929205875604-π/2
    1.9858411751208-1.57079632675     		φ = 0.41504485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40391632} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.142700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41504485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.780318°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73962 KachelY 56618 0.40391632 0.41504485 23.142700 23.780318
    Oben rechts KachelX + 1 73963 KachelY 56618 0.40396425 0.41504485 23.145447 23.780318
    Unten links KachelX 73962 KachelY + 1 56619 0.40391632 0.41500098 23.142700 23.777805
    Unten rechts KachelX + 1 73963 KachelY + 1 56619 0.40396425 0.41500098 23.145447 23.777805
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41504485-0.41500098) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dl = 279.495770000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41504485-0.41500098) × R
    4.38700000000014e-05 × 6371000     		dr = 279.495770000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40391632-0.40396425) × cos(0.41504485) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.915098236505871 × 6371000     		do = 279.436255149024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40391632-0.40396425) × cos(0.41500098) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.915115925368061 × 6371000     		du = 279.44165665589m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41504485)-sin(0.41500098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915098236505871-0.915115925368061)×R²
    abs(0.40396425-0.40391632)×1.76888621891136e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.76888621891136e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.76888621891136e-05×40589641000000     		ar = 78102.0061605077m²