Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73961 / 61268
↖ ↑ ↗
← N 11.641476°
E 23.139954°		 ← 299.14 m → N 11.641476°
E 23.142700°		 →
↑
299.12 m
↓
↑
299.12 m
↓
N 11.638786°
E 23.139954°		 ← 299.15 m →
89 480 m²		 N 11.638786°
E 23.142700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61268 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564281463623047 y=0.467441558837891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564281463623047 × 217)
    floor (0.564281463623047 × 131072)
    floor (73961.5)     		tx = 73961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467441558837891 × 217)
    floor (0.467441558837891 × 131072)
    floor (61268.5)     		ty = 61268
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73961 / 61268 ti = "17/73961/61268"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73961/61268.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73961 ÷ 217
    73961 ÷ 131072     		x = 0.564277648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61268 ÷ 217
    61268 ÷ 131072     		y = 0.467437744140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564277648925781 × 2 - 1) × π
    0.128555297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40386838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467437744140625 × 2 - 1) × π
    0.06512451171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.2045946875784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40386838} λ = 0.40386838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.2045946875784))-π/2
    2×atan(1.22702763462068)-π/2
    2×0.886989208827177-π/2
    1.77397841765435-1.57079632675     		φ = 0.20318209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40386838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.139954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20318209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.641476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73961 KachelY 61268 0.40386838 0.20318209 23.139954 11.641476
    Oben rechts KachelX + 1 73962 KachelY 61268 0.40391632 0.20318209 23.142700 11.641476
    Unten links KachelX 73961 KachelY + 1 61269 0.40386838 0.20313514 23.139954 11.638786
    Unten rechts KachelX + 1 73962 KachelY + 1 61269 0.40391632 0.20313514 23.142700 11.638786
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20318209-0.20313514) × R
    4.69500000000178e-05 × 6371000     		dl = 299.118450000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20318209-0.20313514) × R
    4.69500000000178e-05 × 6371000     		dr = 299.118450000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40386838-0.40391632) × cos(0.20318209) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979429433292992 × 6371000     		do = 299.142959441097m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40386838-0.40391632) × cos(0.20313514) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.979438906112209 × 6371000     		du = 299.145852683916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20318209)-sin(0.20313514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979429433292992-0.979438906112209)×R²
    abs(0.40391632-0.40386838)×9.47281921681586e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.47281921681586e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.47281921681586e-06×40589641000000     		ar = 89479.6110840609m²