Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73961 / 60483
↖ ↑ ↗
← N 13.744721°
E 23.139954°		 ← 296.68 m → N 13.744721°
E 23.142700°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
N 13.742053°
E 23.139954°		 ← 296.68 m →
88 025 m²		 N 13.742053°
E 23.142700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564281463623047 y=0.461452484130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564281463623047 × 217)
    floor (0.564281463623047 × 131072)
    floor (73961.5)     		tx = 73961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461452484130859 × 217)
    floor (0.461452484130859 × 131072)
    floor (60483.5)     		ty = 60483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73961 / 60483 ti = "17/73961/60483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73961/60483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73961 ÷ 217
    73961 ÷ 131072     		x = 0.564277648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60483 ÷ 217
    60483 ÷ 131072     		y = 0.461448669433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564277648925781 × 2 - 1) × π
    0.128555297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40386838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461448669433594 × 2 - 1) × π
    0.0771026611328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.242225153780144
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40386838} λ = 0.40386838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.242225153780144))-π/2
    2×atan(1.27408102468326)-π/2
    2×0.905343481579231-π/2
    1.81068696315846-1.57079632675     		φ = 0.23989064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40386838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.139954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23989064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.744721°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73961 KachelY 60483 0.40386838 0.23989064 23.139954 13.744721
    Oben rechts KachelX + 1 73962 KachelY 60483 0.40391632 0.23989064 23.142700 13.744721
    Unten links KachelX 73961 KachelY + 1 60484 0.40386838 0.23984407 23.139954 13.742053
    Unten rechts KachelX + 1 73962 KachelY + 1 60484 0.40391632 0.23984407 23.142700 13.742053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23989064-0.23984407) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dl = 296.697469999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23989064-0.23984407) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dr = 296.697469999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40386838-0.40391632) × cos(0.23989064) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971363964202792 × 6371000     		do = 296.679557575777m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40386838-0.40391632) × cos(0.23984407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971375028013782 × 6371000     		du = 296.682936748436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23989064)-sin(0.23984407))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971363964202792-0.971375028013782)×R²
    abs(0.40391632-0.40386838)×1.10638109900307e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10638109900307e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10638109900307e-05×40589641000000     		ar = 88024.5754453529m²