Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73961 / 54524
↖ ↑ ↗
← N 28.931247°
E 23.139954°		 ← 267.31 m → N 28.931247°
E 23.142700°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
N 28.928843°
E 23.139954°		 ← 267.32 m →
71 460 m²		 N 28.928843°
E 23.142700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73961 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564281463623047 y=0.415988922119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564281463623047 × 217)
    floor (0.564281463623047 × 131072)
    floor (73961.5)     		tx = 73961
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415988922119141 × 217)
    floor (0.415988922119141 × 131072)
    floor (54524.5)     		ty = 54524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73961 / 54524 ti = "17/73961/54524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73961/54524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73961 ÷ 217
    73961 ÷ 131072     		x = 0.564277648925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54524 ÷ 217
    54524 ÷ 131072     		y = 0.415985107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564277648925781 × 2 - 1) × π
    0.128555297851562 × 3.1415926535     		Λ = 0.40386838
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415985107421875 × 2 - 1) × π
    0.16802978515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.527881138616058
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40386838} λ = 0.40386838}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.527881138616058))-π/2
    2×atan(1.69533631760451)-π/2
    2×1.03787092157421-π/2
    2.07574184314842-1.57079632675     		φ = 0.50494552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40386838} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.139954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50494552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.931247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73961 KachelY 54524 0.40386838 0.50494552 23.139954 28.931247
    Oben rechts KachelX + 1 73962 KachelY 54524 0.40391632 0.50494552 23.142700 28.931247
    Unten links KachelX 73961 KachelY + 1 54525 0.40386838 0.50490356 23.139954 28.928843
    Unten rechts KachelX + 1 73962 KachelY + 1 54525 0.40391632 0.50490356 23.142700 28.928843
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50494552-0.50490356) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dl = 267.327160000048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50494552-0.50490356) × R
    4.19600000000075e-05 × 6371000     		dr = 267.327160000048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40386838-0.40391632) × cos(0.50494552) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875200830956747 × 6371000     		do = 267.308861443404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40386838-0.40391632) × cos(0.50490356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875221128745818 × 6371000     		du = 267.315060910651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50494552)-sin(0.50490356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875200830956747-0.875221128745818)×R²
    abs(0.40391632-0.40386838)×2.02977890704226e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02977890704226e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02977890704226e-05×40589641000000     		ar = 71459.7474260057m²