Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 7396 / 7459
↖ ↑ ↗
← S 81.328221°
E145.019531°		 ← 736.76 m → S 81.328221°
E145.063477°		 →
↑
736.49 m
↓
↑
736.49 m
↓
S 81.334844°
E145.019531°		 ← 736.20 m →
542 406 m²		 S 81.334844°
E145.063477°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7396 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.90289306640625 y=0.91058349609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.90289306640625 × 213)
    floor (0.90289306640625 × 8192)
    floor (7396.5)     		tx = 7396
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.91058349609375 × 213)
    floor (0.91058349609375 × 8192)
    floor (7459.5)     		ty = 7459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 7396 / 7459 ti = "13/7396/7459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/7396/7459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7396 ÷ 213
    7396 ÷ 8192     		x = 0.90283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7459 ÷ 213
    7459 ÷ 8192     		y = 0.9105224609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90283203125 × 2 - 1) × π
    0.8056640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.53106830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9105224609375 × 2 - 1) × π
    -0.821044921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.57938869475598
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.53106830} λ = 2.53106830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57938869475598))-π/2
    2×atan(0.0758203392298995)-π/2
    2×0.0756755482568157-π/2
    0.151351096513631-1.57079632675     		φ = -1.41944523
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.53106830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 145.019531°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41944523 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.328221°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7396 KachelY 7459 2.53106830 -1.41944523 145.019531 -81.328221
    Oben rechts KachelX + 1 7397 KachelY 7459 2.53183529 -1.41944523 145.063477 -81.328221
    Unten links KachelX 7396 KachelY + 1 7460 2.53106830 -1.41956083 145.019531 -81.334844
    Unten rechts KachelX + 1 7397 KachelY + 1 7460 2.53183529 -1.41956083 145.063477 -81.334844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41944523--1.41956083) × R
    0.000115599999999993 × 6371000     		dl = 736.487599999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41944523--1.41956083) × R
    0.000115599999999993 × 6371000     		dr = 736.487599999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.53106830-2.53183529) × cos(-1.41944523) × R
    0.000766990000000245 × 0.150773921104602 × 6371000     		do = 736.755753784861m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.53106830-2.53183529) × cos(-1.41956083) × R
    0.000766990000000245 × 0.150659641605406 × 6371000     		du = 736.197327778855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41944523)-sin(-1.41956083))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150773921104602-0.150659641605406)×R²
    abs(2.53183529-2.53106830)×0.000114279499196013×R²
    0.000766990000000245×0.000114279499196013×6371000²
    0.000766990000000245×0.000114279499196013×40589641000000     		ar = 542405.840582766m²