Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73959 / 60514
↖ ↑ ↗
← N 13.662000°
E 23.134461°		 ← 296.72 m → N 13.662000°
E 23.137207°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 13.659332°
E 23.134461°		 ← 296.73 m →
88 056 m²		 N 13.659332°
E 23.137207°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73959 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60514 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564266204833984 y=0.461688995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564266204833984 × 217)
    floor (0.564266204833984 × 131072)
    floor (73959.5)     		tx = 73959
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461688995361328 × 217)
    floor (0.461688995361328 × 131072)
    floor (60514.5)     		ty = 60514
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73959 / 60514 ti = "17/73959/60514"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73959/60514.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73959 ÷ 217
    73959 ÷ 131072     		x = 0.564262390136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60514 ÷ 217
    60514 ÷ 131072     		y = 0.461685180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564262390136719 × 2 - 1) × π
    0.128524780273438 × 3.1415926535     		Λ = 0.40377251
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461685180664062 × 2 - 1) × π
    0.076629638671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.240739109891922
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40377251} λ = 0.40377251}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240739109891922))-π/2
    2×atan(1.27218909046024)-π/2
    2×0.904621609656888-π/2
    1.80924321931378-1.57079632675     		φ = 0.23844689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40377251} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.134461°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23844689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.662000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73959 KachelY 60514 0.40377251 0.23844689 23.134461 13.662000
    Oben rechts KachelX + 1 73960 KachelY 60514 0.40382044 0.23844689 23.137207 13.662000
    Unten links KachelX 73959 KachelY + 1 60515 0.40377251 0.23840031 23.134461 13.659332
    Unten rechts KachelX + 1 73960 KachelY + 1 60515 0.40382044 0.23840031 23.137207 13.659332
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23844689-0.23840031) × R
    4.65799999999905e-05 × 6371000     		dl = 296.76117999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23844689-0.23840031) × R
    4.65799999999905e-05 × 6371000     		dr = 296.76117999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40377251-0.40382044) × cos(0.23844689) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.971705981523202 × 6371000     		do = 296.722111081249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40377251-0.40382044) × cos(0.23840031) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.971716982373716 × 6371000     		du = 296.725470323294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23844689)-sin(0.23840031))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971705981523202-0.971716982373716)×R²
    abs(0.40382044-0.40377251)×1.10008505137538e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.10008505137538e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.10008505137538e-05×40589641000000     		ar = 88056.1022787542m²