Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73958 / 60511
↖ ↑ ↗
← N 13.670007°
E 23.131714°		 ← 296.77 m → N 13.670007°
E 23.134461°		 →
↑
296.76 m
↓
↑
296.76 m
↓
N 13.667338°
E 23.131714°		 ← 296.78 m →
88 071 m²		 N 13.667338°
E 23.134461°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73958 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564258575439453 y=0.461666107177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564258575439453 × 217)
    floor (0.564258575439453 × 131072)
    floor (73958.5)     		tx = 73958
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461666107177734 × 217)
    floor (0.461666107177734 × 131072)
    floor (60511.5)     		ty = 60511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73958 / 60511 ti = "17/73958/60511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73958/60511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73958 ÷ 217
    73958 ÷ 131072     		x = 0.564254760742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60511 ÷ 217
    60511 ÷ 131072     		y = 0.461662292480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564254760742188 × 2 - 1) × π
    0.128509521484375 × 3.1415926535     		Λ = 0.40372457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461662292480469 × 2 - 1) × π
    0.0766754150390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240882920590782
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40372457} λ = 0.40372457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240882920590782))-π/2
    2×atan(1.27237205801845)-π/2
    2×0.904691479328118-π/2
    1.80938295865624-1.57079632675     		φ = 0.23858663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40372457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.131714°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23858663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.670007°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73958 KachelY 60511 0.40372457 0.23858663 23.131714 13.670007
    Oben rechts KachelX + 1 73959 KachelY 60511 0.40377251 0.23858663 23.134461 13.670007
    Unten links KachelX 73958 KachelY + 1 60512 0.40372457 0.23854005 23.131714 13.667338
    Unten rechts KachelX + 1 73959 KachelY + 1 60512 0.40377251 0.23854005 23.134461 13.667338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23858663-0.23854005) × R
    4.65799999999905e-05 × 6371000     		dl = 296.76117999994m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23858663-0.23854005) × R
    4.65799999999905e-05 × 6371000     		dr = 296.76117999994m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40372457-0.40377251) × cos(0.23858663) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971672966321914 × 6371000     		do = 296.773934776671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40372457-0.40377251) × cos(0.23854005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.971683973497278 × 6371000     		du = 296.777296651352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23858663)-sin(0.23854005))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971672966321914-0.971683973497278)×R²
    abs(0.40377251-0.40372457)×1.10071753630647e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.10071753630647e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.10071753630647e-05×40589641000000     		ar = 88071.481930391m²