Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73955 / 56906
↖ ↑ ↗
← N 23.054462°
E 23.123474°		 ← 280.97 m → N 23.054462°
E 23.126220°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
N 23.051935°
E 23.123474°		 ← 280.98 m →
78 961 m²		 N 23.051935°
E 23.126220°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73955 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56906 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564235687255859 y=0.434162139892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564235687255859 × 217)
    floor (0.564235687255859 × 131072)
    floor (73955.5)     		tx = 73955
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434162139892578 × 217)
    floor (0.434162139892578 × 131072)
    floor (56906.5)     		ty = 56906
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73955 / 56906 ti = "17/73955/56906"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73955/56906.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73955 ÷ 217
    73955 ÷ 131072     		x = 0.564231872558594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56906 ÷ 217
    56906 ÷ 131072     		y = 0.434158325195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564231872558594 × 2 - 1) × π
    0.128463745117188 × 3.1415926535     		Λ = 0.40358076
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434158325195312 × 2 - 1) × π
    0.131683349609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.413695443721085
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40358076} λ = 0.40358076}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413695443721085))-π/2
    2×atan(1.51239644690235)-π/2
    2×0.98658629734025-π/2
    1.9731725946805-1.57079632675     		φ = 0.40237627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40358076} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.123474°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40237627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.054462°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73955 KachelY 56906 0.40358076 0.40237627 23.123474 23.054462
    Oben rechts KachelX + 1 73956 KachelY 56906 0.40362869 0.40237627 23.126220 23.054462
    Unten links KachelX 73955 KachelY + 1 56907 0.40358076 0.40233216 23.123474 23.051935
    Unten rechts KachelX + 1 73956 KachelY + 1 56907 0.40362869 0.40233216 23.126220 23.051935
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40237627-0.40233216) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40237627-0.40233216) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40358076-0.40362869) × cos(0.40237627) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.920133031291971 × 6371000     		do = 280.973690305542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40358076-0.40362869) × cos(0.40233216) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.920150304134408 × 6371000     		du = 280.978964775772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40237627)-sin(0.40233216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920133031291971-0.920150304134408)×R²
    abs(0.40362869-0.40358076)×1.72728424365776e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.72728424365776e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.72728424365776e-05×40589641000000     		ar = 78961.3190743911m²