Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73953 / 90401
↖ ↑ ↗
← S 56.220450°
E 23.117981°		 ← 169.82 m → S 56.220450°
E 23.120727°		 →
↑
169.85 m
↓
↑
169.85 m
↓
S 56.221978°
E 23.117981°		 ← 169.81 m →
28 843 m²		 S 56.221978°
E 23.120727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 90401 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564220428466797 y=0.689708709716797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564220428466797 × 217)
    floor (0.564220428466797 × 131072)
    floor (73953.5)     		tx = 73953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.689708709716797 × 217)
    floor (0.689708709716797 × 131072)
    floor (90401.5)     		ty = 90401
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73953 / 90401 ti = "17/73953/90401"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73953/90401.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73953 ÷ 217
    73953 ÷ 131072     		x = 0.564216613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 90401 ÷ 217
    90401 ÷ 131072     		y = 0.689704895019531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564216613769531 × 2 - 1) × π
    0.128433227539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40348488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.689704895019531 × 2 - 1) × π
    -0.379409790039062 × 3.1415926535     		Φ = -1.1919510090527
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40348488} λ = 0.40348488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1919510090527))-π/2
    2×atan(0.303628304249561)-π/2
    2×0.294782180919389-π/2
    0.589564361838778-1.57079632675     		φ = -0.98123196
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40348488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.117981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.98123196 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -56.220450°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73953 KachelY 90401 0.40348488 -0.98123196 23.117981 -56.220450
    Oben rechts KachelX + 1 73954 KachelY 90401 0.40353282 -0.98123196 23.120727 -56.220450
    Unten links KachelX 73953 KachelY + 1 90402 0.40348488 -0.98125862 23.117981 -56.221978
    Unten rechts KachelX + 1 73954 KachelY + 1 90402 0.40353282 -0.98125862 23.120727 -56.221978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.98123196--0.98125862) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dl = 169.850859999721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.98123196--0.98125862) × R
    2.66599999999562e-05 × 6371000     		dr = 169.850859999721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(-0.98123196) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555998984780882 × 6371000     		do = 169.816401366035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(-0.98125862) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.555976825245325 × 6371000     		du = 169.809633273489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.98123196)-sin(-0.98125862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.555998984780882-0.555976825245325)×R²
    abs(0.40353282-0.40348488)×2.21595355560655e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.21595355560655e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.21595355560655e-05×40589641000000     		ar = 28842.8870325804m²