Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73953 / 61469
↖ ↑ ↗
← N 11.100252°
E 23.117981°		 ← 299.71 m → N 11.100252°
E 23.120727°		 →
↑
299.69 m
↓
↑
299.69 m
↓
N 11.097557°
E 23.117981°		 ← 299.71 m →
89 822 m²		 N 11.097557°
E 23.120727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 61469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564220428466797 y=0.468975067138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564220428466797 × 217)
    floor (0.564220428466797 × 131072)
    floor (73953.5)     		tx = 73953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468975067138672 × 217)
    floor (0.468975067138672 × 131072)
    floor (61469.5)     		ty = 61469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73953 / 61469 ti = "17/73953/61469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73953/61469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73953 ÷ 217
    73953 ÷ 131072     		x = 0.564216613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 61469 ÷ 217
    61469 ÷ 131072     		y = 0.468971252441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564216613769531 × 2 - 1) × π
    0.128433227539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40348488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468971252441406 × 2 - 1) × π
    0.0620574951171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.194959370754768
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40348488} λ = 0.40348488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194959370754768))-π/2
    2×atan(1.21526161032469)-π/2
    2×0.882266132511924-π/2
    1.76453226502385-1.57079632675     		φ = 0.19373594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40348488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.117981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19373594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.100252°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73953 KachelY 61469 0.40348488 0.19373594 23.117981 11.100252
    Oben rechts KachelX + 1 73954 KachelY 61469 0.40353282 0.19373594 23.120727 11.100252
    Unten links KachelX 73953 KachelY + 1 61470 0.40348488 0.19368890 23.117981 11.097557
    Unten rechts KachelX + 1 73954 KachelY + 1 61470 0.40353282 0.19368890 23.120727 11.097557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19373594-0.19368890) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dl = 299.691839999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19373594-0.19368890) × R
    4.70399999999982e-05 × 6371000     		dr = 299.691839999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(0.19373594) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981291818228266 × 6371000     		do = 299.711779738464m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(0.19368890) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.981300873578667 × 6371000     		du = 299.714545475561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19373594)-sin(0.19368890))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981291818228266-0.981300873578667)×R²
    abs(0.40353282-0.40348488)×9.05535040174321e-06×R²
    4.79400000000241e-05×9.05535040174321e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×9.05535040174321e-06×40589641000000     		ar = 89821.5891904517m²