Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73953 / 56908
↖ ↑ ↗
← N 23.049407°
E 23.117981°		 ← 281.04 m → N 23.049407°
E 23.120727°		 →
↑
281.02 m
↓
↑
281.02 m
↓
N 23.046880°
E 23.117981°		 ← 281.05 m →
78 981 m²		 N 23.046880°
E 23.120727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56908 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564220428466797 y=0.434177398681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564220428466797 × 217)
    floor (0.564220428466797 × 131072)
    floor (73953.5)     		tx = 73953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434177398681641 × 217)
    floor (0.434177398681641 × 131072)
    floor (56908.5)     		ty = 56908
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73953 / 56908 ti = "17/73953/56908"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73953/56908.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73953 ÷ 217
    73953 ÷ 131072     		x = 0.564216613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56908 ÷ 217
    56908 ÷ 131072     		y = 0.434173583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564216613769531 × 2 - 1) × π
    0.128433227539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40348488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434173583984375 × 2 - 1) × π
    0.13165283203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.413599569921844
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40348488} λ = 0.40348488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.413599569921844))-π/2
    2×atan(1.51225145465962)-π/2
    2×0.986542188187481-π/2
    1.97308437637496-1.57079632675     		φ = 0.40228805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40348488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.117981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40228805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.049407°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73953 KachelY 56908 0.40348488 0.40228805 23.117981 23.049407
    Oben rechts KachelX + 1 73954 KachelY 56908 0.40353282 0.40228805 23.120727 23.049407
    Unten links KachelX 73953 KachelY + 1 56909 0.40348488 0.40224394 23.117981 23.046880
    Unten rechts KachelX + 1 73954 KachelY + 1 56909 0.40353282 0.40224394 23.120727 23.046880
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40228805-0.40224394) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dl = 281.024809999911m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40228805-0.40224394) × R
    4.41099999999861e-05 × 6371000     		dr = 281.024809999911m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(0.40228805) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.920167575186515 × 6371000     		do = 281.042862575488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(0.40224394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.92018484444826 × 6371000     		du = 281.048137052536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40228805)-sin(0.40224394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.920167575186515-0.92018484444826)×R²
    abs(0.40353282-0.40348488)×1.72692617446124e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72692617446124e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72692617446124e-05×40589641000000     		ar = 78980.7581993477m²