Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73953 / 56893
↖ ↑ ↗
← N 23.087312°
E 23.117981°		 ← 280.96 m → N 23.087312°
E 23.120727°		 →
↑
280.96 m
↓
↑
280.96 m
↓
N 23.084785°
E 23.117981°		 ← 280.97 m →
78 941 m²		 N 23.084785°
E 23.120727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73953 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56893 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564220428466797 y=0.434062957763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564220428466797 × 217)
    floor (0.564220428466797 × 131072)
    floor (73953.5)     		tx = 73953
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.434062957763672 × 217)
    floor (0.434062957763672 × 131072)
    floor (56893.5)     		ty = 56893
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73953 / 56893 ti = "17/73953/56893"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73953/56893.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73953 ÷ 217
    73953 ÷ 131072     		x = 0.564216613769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56893 ÷ 217
    56893 ÷ 131072     		y = 0.434059143066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564216613769531 × 2 - 1) × π
    0.128433227539062 × 3.1415926535     		Λ = 0.40348488
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.434059143066406 × 2 - 1) × π
    0.131881713867188 × 3.1415926535     		Φ = 0.414318623416145
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40348488} λ = 0.40348488}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.414318623416145))-π/2
    2×atan(1.51333923539175)-π/2
    2×0.986872966454815-π/2
    1.97374593290963-1.57079632675     		φ = 0.40294961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40348488} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.117981°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40294961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.087312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73953 KachelY 56893 0.40348488 0.40294961 23.117981 23.087312
    Oben rechts KachelX + 1 73954 KachelY 56893 0.40353282 0.40294961 23.120727 23.087312
    Unten links KachelX 73953 KachelY + 1 56894 0.40348488 0.40290551 23.117981 23.084785
    Unten rechts KachelX + 1 73954 KachelY + 1 56894 0.40353282 0.40290551 23.120727 23.084785
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40294961-0.40290551) × R
    4.40999999999914e-05 × 6371000     		dl = 280.961099999945m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40294961-0.40290551) × R
    4.40999999999914e-05 × 6371000     		dr = 280.961099999945m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(0.40294961) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919908356727648 × 6371000     		do = 280.963690585867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40348488-0.40353282) × cos(0.40290551) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.919925648916724 × 6371000     		du = 280.968972065512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40294961)-sin(0.40290551))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919908356727648-0.919925648916724)×R²
    abs(0.40353282-0.40348488)×1.72921890759792e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.72921890759792e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.72921890759792e-05×40589641000000     		ar = 78940.6095249889m²