Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73951 / 60425
↖ ↑ ↗
← N 13.899410°
E 23.112488°		 ← 296.48 m → N 13.899410°
E 23.115235°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.896744°
E 23.112488°		 ← 296.49 m →
87 891 m²		 N 13.896744°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60425 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564205169677734 y=0.461009979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564205169677734 × 217)
    floor (0.564205169677734 × 131072)
    floor (73951.5)     		tx = 73951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461009979248047 × 217)
    floor (0.461009979248047 × 131072)
    floor (60425.5)     		ty = 60425
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73951 / 60425 ti = "17/73951/60425"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73951/60425.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73951 ÷ 217
    73951 ÷ 131072     		x = 0.564201354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60425 ÷ 217
    60425 ÷ 131072     		y = 0.461006164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564201354980469 × 2 - 1) × π
    0.128402709960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40338901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461006164550781 × 2 - 1) × π
    0.0779876708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.245005493958107
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40338901} λ = 0.40338901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245005493958107))-π/2
    2×atan(1.27762833242214)-π/2
    2×0.906693395143495-π/2
    1.81338679028699-1.57079632675     		φ = 0.24259046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40338901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.112488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24259046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.899410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73951 KachelY 60425 0.40338901 0.24259046 23.112488 13.899410
    Oben rechts KachelX + 1 73952 KachelY 60425 0.40343695 0.24259046 23.115235 13.899410
    Unten links KachelX 73951 KachelY + 1 60426 0.40338901 0.24254393 23.112488 13.896744
    Unten rechts KachelX + 1 73952 KachelY + 1 60426 0.40343695 0.24254393 23.115235 13.896744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24259046-0.24254393) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dl = 296.442630000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24259046-0.24254393) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dr = 296.442630000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40338901-0.40343695) × cos(0.24259046) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.970718957323382 × 6371000     		do = 296.482555872671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40338901-0.40343695) × cos(0.24254393) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.970730133617874 × 6371000     		du = 296.485969400687m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24259046)-sin(0.24254393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970718957323382-0.970730133617874)×R²
    abs(0.40343695-0.40338901)×1.1176294491877e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.1176294491877e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.1176294491877e-05×40589641000000     		ar = 87890.5745854868m²