Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73951 / 56607
↖ ↑ ↗
← N 23.807962°
E 23.112488°		 ← 279.44 m → N 23.807962°
E 23.115235°		 →
↑
279.37 m
↓
↑
279.37 m
↓
N 23.805450°
E 23.112488°		 ← 279.44 m →
78 066 m²		 N 23.805450°
E 23.115235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73951 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564205169677734 y=0.431880950927734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564205169677734 × 217)
    floor (0.564205169677734 × 131072)
    floor (73951.5)     		tx = 73951
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.431880950927734 × 217)
    floor (0.431880950927734 × 131072)
    floor (56607.5)     		ty = 56607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73951 / 56607 ti = "17/73951/56607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73951/56607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73951 ÷ 217
    73951 ÷ 131072     		x = 0.564201354980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56607 ÷ 217
    56607 ÷ 131072     		y = 0.431877136230469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564201354980469 × 2 - 1) × π
    0.128402709960938 × 3.1415926535     		Λ = 0.40338901
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.431877136230469 × 2 - 1) × π
    0.136245727539062 × 3.1415926535     		Φ = 0.428028576707481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40338901} λ = 0.40338901}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.428028576707481))-π/2
    2×atan(1.53422992358087)-π/2
    2×0.993161830250747-π/2
    1.98632366050149-1.57079632675     		φ = 0.41552733
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40338901} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.112488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.41552733 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.807962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73951 KachelY 56607 0.40338901 0.41552733 23.112488 23.807962
    Oben rechts KachelX + 1 73952 KachelY 56607 0.40343695 0.41552733 23.115235 23.807962
    Unten links KachelX 73951 KachelY + 1 56608 0.40338901 0.41548348 23.112488 23.805450
    Unten rechts KachelX + 1 73952 KachelY + 1 56608 0.40343695 0.41548348 23.115235 23.805450
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.41552733-0.41548348) × R
    4.38499999999564e-05 × 6371000     		dl = 279.368349999722m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.41552733-0.41548348) × R
    4.38499999999564e-05 × 6371000     		dr = 279.368349999722m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40338901-0.40343695) × cos(0.41552733) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.91490357912213 × 6371000     		do = 279.435102682166m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40338901-0.40343695) × cos(0.41548348) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.914921279279134 × 6371000     		du = 279.440508765716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.41552733)-sin(0.41548348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91490357912213-0.914921279279134)×R²
    abs(0.40343695-0.40338901)×1.77001570034196e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.77001570034196e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.77001570034196e-05×40589641000000     		ar = 78066.0787252053m²