Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73950 / 60430
↖ ↑ ↗
← N 13.886078°
E 23.109741°		 ← 296.50 m → N 13.886078°
E 23.112488°		 →
↑
296.51 m
↓
↑
296.51 m
↓
N 13.883412°
E 23.109741°		 ← 296.50 m →
87 915 m²		 N 13.883412°
E 23.112488°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73950 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60430 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564197540283203 y=0.461048126220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564197540283203 × 217)
    floor (0.564197540283203 × 131072)
    floor (73950.5)     		tx = 73950
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461048126220703 × 217)
    floor (0.461048126220703 × 131072)
    floor (60430.5)     		ty = 60430
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73950 / 60430 ti = "17/73950/60430"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73950/60430.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73950 ÷ 217
    73950 ÷ 131072     		x = 0.564193725585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60430 ÷ 217
    60430 ÷ 131072     		y = 0.461044311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564193725585938 × 2 - 1) × π
    0.128387451171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.40334107
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461044311523438 × 2 - 1) × π
    0.077911376953125 × 3.1415926535     		Φ = 0.244765809460007
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40334107} λ = 0.40334107}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244765809460007))-π/2
    2×atan(1.27732214141261)-π/2
    2×0.90657705865251-π/2
    1.81315411730502-1.57079632675     		φ = 0.24235779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40334107} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.109741°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24235779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.886078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73950 KachelY 60430 0.40334107 0.24235779 23.109741 13.886078
    Oben rechts KachelX + 1 73951 KachelY 60430 0.40338901 0.24235779 23.112488 13.886078
    Unten links KachelX 73950 KachelY + 1 60431 0.40334107 0.24231125 23.109741 13.883412
    Unten rechts KachelX + 1 73951 KachelY + 1 60431 0.40338901 0.24231125 23.112488 13.883412
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24235779-0.24231125) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dl = 296.506339999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24235779-0.24231125) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dr = 296.506339999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40334107-0.40338901) × cos(0.24235779) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970774822578738 × 6371000     		do = 296.499618559285m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40334107-0.40338901) × cos(0.24231125) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970785990763203 × 6371000     		du = 296.50302961029m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24235779)-sin(0.24231125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970774822578738-0.970785990763203)×R²
    abs(0.40338901-0.40334107)×1.11681844643385e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11681844643385e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11681844643385e-05×40589641000000     		ar = 87914.5224253649m²