Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7395 / 10210
↖ ↑ ↗
← S 40.480382°
W 17.512207°		 ← 1 858.38 m → S 40.480382°
W 17.490235°		 →
↑
1 858.17 m
↓
↑
1 858.17 m
↓
S 40.497092°
W 17.512207°		 ← 1 857.92 m →
3 452 745 m²		 S 40.497092°
W 17.490235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7395 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.451385498046875 y=0.623199462890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.451385498046875 × 214)
    floor (0.451385498046875 × 16384)
    floor (7395.5)     		tx = 7395
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623199462890625 × 214)
    floor (0.623199462890625 × 16384)
    floor (10210.5)     		ty = 10210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7395 / 10210 ti = "14/7395/10210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7395/10210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7395 ÷ 214
    7395 ÷ 16384     		x = 0.45135498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10210 ÷ 214
    10210 ÷ 16384     		y = 0.6231689453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45135498046875 × 2 - 1) × π
    -0.0972900390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.30564567
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6231689453125 × 2 - 1) × π
    -0.246337890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.773893307466187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.30564567} λ = -0.30564567}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773893307466187))-π/2
    2×atan(0.46121392066551)-π/2
    2×0.432140194205539-π/2
    0.864280388411078-1.57079632675     		φ = -0.70651594
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.30564567} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -17.512207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70651594 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.480382°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7395 KachelY 10210 -0.30564567 -0.70651594 -17.512207 -40.480382
    Oben rechts KachelX + 1 7396 KachelY 10210 -0.30526218 -0.70651594 -17.490235 -40.480382
    Unten links KachelX 7395 KachelY + 1 10211 -0.30564567 -0.70680760 -17.512207 -40.497092
    Unten rechts KachelX + 1 7396 KachelY + 1 10211 -0.30526218 -0.70680760 -17.490235 -40.497092
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70651594--0.70680760) × R
    0.000291660000000027 × 6371000     		dl = 1858.16586000017m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70651594--0.70680760) × R
    0.000291660000000027 × 6371000     		dr = 1858.16586000017m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.30564567--0.30526218) × cos(-0.70651594) × R
    0.000383489999999986 × 0.760628296615062 × 6371000     		do = 1858.37830398236m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.30564567--0.30526218) × cos(-0.70680760) × R
    0.000383489999999986 × 0.760438922198478 × 6371000     		du = 1857.91562160691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70651594)-sin(-0.70680760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760628296615062-0.760438922198478)×R²
    abs(-0.30526218--0.30564567)×0.00018937441658462×R²
    0.000383489999999986×0.00018937441658462×6371000²
    0.000383489999999986×0.00018937441658462×40589641000000     		ar = 3452745.27360327m²