Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73947 / 60488
↖ ↑ ↗
← N 13.731381°
E 23.101501°		 ← 296.70 m → N 13.731381°
E 23.104248°		 →
↑
296.70 m
↓
↑
296.70 m
↓
N 13.728713°
E 23.101501°		 ← 296.70 m →
88 030 m²		 N 13.728713°
E 23.104248°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73947 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.564174652099609 y=0.461490631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.564174652099609 × 217)
    floor (0.564174652099609 × 131072)
    floor (73947.5)     		tx = 73947
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461490631103516 × 217)
    floor (0.461490631103516 × 131072)
    floor (60488.5)     		ty = 60488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73947 / 60488 ti = "17/73947/60488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73947/60488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73947 ÷ 217
    73947 ÷ 131072     		x = 0.564170837402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60488 ÷ 217
    60488 ÷ 131072     		y = 0.46148681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.564170837402344 × 2 - 1) × π
    0.128341674804688 × 3.1415926535     		Λ = 0.40319726
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46148681640625 × 2 - 1) × π
    0.0770263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.241985469282043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.40319726} λ = 0.40319726}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241985469282043))-π/2
    2×atan(1.27377568380652)-π/2
    2×0.905227067823319-π/2
    1.81045413564664-1.57079632675     		φ = 0.23965781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.40319726} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.101501°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23965781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.731381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73947 KachelY 60488 0.40319726 0.23965781 23.101501 13.731381
    Oben rechts KachelX + 1 73948 KachelY 60488 0.40324520 0.23965781 23.104248 13.731381
    Unten links KachelX 73947 KachelY + 1 60489 0.40319726 0.23961124 23.101501 13.728713
    Unten rechts KachelX + 1 73948 KachelY + 1 60489 0.40324520 0.23961124 23.104248 13.728713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23965781-0.23961124) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dl = 296.697469999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23965781-0.23961124) × R
    4.65699999999958e-05 × 6371000     		dr = 296.697469999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.40319726-0.40324520) × cos(0.23965781) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.971419257443257 × 6371000     		do = 296.696445555006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.40319726-0.40324520) × cos(0.23961124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.971430310721492 × 6371000     		du = 296.699821510691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23965781)-sin(0.23961124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971419257443257-0.971430310721492)×R²
    abs(0.40324520-0.40319726)×1.10532782345851e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.10532782345851e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.10532782345851e-05×40589641000000     		ar = 88029.5855887888m²